29 Um reservatório de uma empresa especializada em gases contém o gás hidrogênio a uma pressão P e uma temperatura T. Sabe-se que esse reservatório apresenta uma perda por difusão de 6,0.10^{4} moléculas por segundo. Quando comparado a outro reservatório da empresa contendo o gás oxigênio, nas mesmas condições de pressão e temperatura, podemos dizer que ele perderá o mesmo número de moléculas em qual tempo? (Dados: \mathrm{H}=1 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} ; \mathrm{O}=16 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} )

Passo 1

O enunciado diz que um reservatório com gás hidrogênio perde por difusão 6,0\times10^{4} moléculas por segundo nas condições de pressão P e temperatura T. Pede-se: para outro reservatório, nas mesmas P e T, contendo gás oxigênio, em quanto tempo ele perderá o mesmo número de moléculas? Dados fornecidos: \mathrm{H}=1\\ \mathrm{g/mol} e \mathrm{O}=16\\ \mathrm{g/mol}. Informações relevantes listadas: a taxa de perda do hidrogênio é 6,0\times10^{4}\\ \text{moléculas/s}é; devemos comparar com oxigênio sob as mesmas condições e encontrar o tempo para perder 6,0\times10^{4} moléculas.

Passo 2

Conceito físico essencial (explicado passo a passo): para gases sob a mesma temperatura T, a velocidade média das moléculas depende da massa molar. Do modelo cinético dos gases tem-se a velocidade quadrática média (v_rms)
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}},
onde R é a constante universal dos gases, T é a temperatura absoluta e M é a massa molar (em \mathrm{kg/mol} ou qualquer unidade consistente). Aqui v_{\mathrm{rms}} é proporcional a 1/\sqrt{M}. Em palavras simples: quanto mais leve a molécula (menor M), mais rápido ela se move em média, e portanto maior é a taxa com que ela escapa por difusão/efusão através de uma pequena abertura. Assim, a taxa de perda (número de moléculas por segundo) segue a mesma dependência:
\text{taxa} \propto v_{\mathrm{rms}} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}.
Essa relação é conhecida como Lei de Graham (para efusão/difusão sob mesmas T e P).

Passo 3

Converter as massas dadas em massa molar molecular dos gases reais. O enunciado deu massas atômicas: \mathrm{H}=1\\ \mathrm{g/mol} e \mathrm{O}=16\\ \mathrm{g/mol}. As moléculas são diatômicas: hidrogênio molecular é \mathrm{H_2} e oxigênio molecular é \mathrm{O_2}. Portanto,
M_{\mathrm{H_2}}=2\times1=2\\ \mathrm{g/mol},
M_{\mathrm{O_2}}=2\times16=32\\ \mathrm{g/mol}.
Obs.: podemos usar g/mol diretamente nas razões, porque aparecem sob raiz como razões de massas molares (unidades se cancelam).

Passo 4

Aplicar a Lei de Graham para relacionar as taxas. Se \;r_{\mathrm{H_2}} é a taxa do hidrogênio e \;r_{\mathrm{O_2}} a do oxigênio,
\frac{r_{\mathrm{H_2}}}{r_{\mathrm{O_2}}}=\sqrt{\frac{M_{\mathrm{O_2}}}{M_{\mathrm{H_2}}}}.
Isolando r_{\mathrm{O_2}},
r_{\mathrm{O_2}}=r_{\mathrm{H_2}}\sqrt{\frac{M_{\mathrm{H_2}}}{M_{\mathrm{O_2}}}}.
Substituindo valores numéricos:
r_{\mathrm{O_2}}=(6,0\times10^{4})\sqrt{\frac{2}{32}}=(6,0\times10^{4})\sqrt{\frac{1}{16}}=(6,0\times10^{4})\cdot\frac{1}{4}=1,5\times10^{4}\\ \text{moléculas/s}.é

Passo 5

Calcular o tempo que o oxigênio leva para perder o mesmo número de moléculas que o hidrogênio perde em 1 segundo (ou seja, perder 6,0\times10^{4} moléculas). Se N=6,0\times10^{4} é o número de moléculas e a taxa é r_{\mathrm{O_2}}=1,5\times10^{4}\\ \text{moléculas/s}é, então o tempo é
t=\frac{N}{r_{\mathrm{O_2}}}=\frac{6,0\times10^{4}}{1,5\times10^{4}}=4\\ \mathrm{s}.
Interpretação: como o oxigênio é 16 vezes mais pesado em massa molar que o hidrogênio molecular, sua velocidade média é 4 vezes menor, então leva 4 vezes mais tempo para perder o mesmo número de moléculas.

Resposta

4\\ \mathrm{s}

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