Inverta a ordem de integração e calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração e calcular a integral
Informações dadas relevantes:
- A variável
varia em . - Para cada
, a variável varia em . - O integrando é
, onde é uma constante.
As perguntas são: (1) escrever a integral com a ordem de integração invertida e (2) calcular o valor da integral.
Passo 2
Vamos entender a região de integração
no plano
. A condição dos limites diz
Isto significa que
é o conjunto de pontos
com
entre
e
e abaixo da parábola
, mantendo
. Para inverter a ordem precisamos expressar
em função de
. Da desigualdade
obtemos
Como originalmente
varia em
(somente a parte positiva), na região
a faixa de
para um dado
é
Passo 3
Agora determinamos os valores admissíveis de
. A partir de
e da parábola temos o teto
(porque em
o máximo de
é
). Logo
varia em
. Assim a integral com a ordem invertida fica
Expliquei acima por que escolhemos apenas a raiz positiva: a região original tem
.
Passo 4
Vamos integrar primeiro em
. Observe que, para integrar em
, a expressão
é constante em relação a
(porque depende só de
e da constante
). Então
Agora calculemos
. Usamos a primitiva de
, que é
. Portanto
Passo 5
Substituindo esse resultado na integral interna obtemos
ou seja, a dependência
cancela — bom sinal, simplifica bastante. Assim a integral dupla reduz-se a uma integral simples em
:
Agora integramos em
. A primitiva de
é
, então
Passo 6
Continuando a simplificação numérica:
Multiplicando por
obtemos o valor final da integral:
Fica a observação: mesmo parecendo complicada pela presença de
, a troca de ordem e a integração em
fizeram esse fator se cancelar, resultando numa integral simples em
. Você mandou bem pedindo a inversão — frequentemente ela simplifica muito.