Inverta a ordem de integração e calcule a integral.
\int_{0}^{2} \int_{0}^{4-x^{2}} \frac{x c^{2} y}{4-y} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração e calcular a integral
\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-x^{2}}\frac{x c^{2} y}{4-y}\,dy\,dx.
Informações dadas relevantes:
  • A variável x varia em [0,2].
  • Para cada x, a variável y varia em [0,4-x^{2}].
  • O integrando é \dfrac{x c^{2} y}{4-y}, onde c é uma constante.
    As perguntas são: (1) escrever a integral com a ordem de integração invertida e (2) calcular o valor da integral.

Passo 2

Vamos entender a região de integração R no plano xy. A condição dos limites diz
0\le x\le 2,\qquad 0\le y\le 4-x^{2}.
Isto significa que R é o conjunto de pontos (x,y) com x entre 0 e 2 e abaixo da parábola y=4-x^{2}, mantendo y\ge 0. Para inverter a ordem precisamos expressar x em função de y. Da desigualdade y\le 4-x^{2} obtemos
x^{2}\le 4-y \quad\Rightarrow\quad -\sqrt{4-y}\le x\le \sqrt{4-y}.
Como originalmente x varia em [0,2] (somente a parte positiva), na região R a faixa de x para um dado y é
0\le x\le \sqrt{4-y}.

Passo 3

Agora determinamos os valores admissíveis de y. A partir de y\ge 0 e da parábola temos o teto y\le 4 (porque em x=0 o máximo de y é 4). Logo y varia em [0,4]. Assim a integral com a ordem invertida fica
\int_{y=0}^{4}\int_{x=0}^{\sqrt{4-y}}\frac{x c^{2} y}{4-y}\,dx\,dy.
Expliquei acima por que escolhemos apenas a raiz positiva: a região original tem x\ge 0.

Passo 4

Vamos integrar primeiro em x. Observe que, para integrar em x, a expressão \dfrac{c^{2}y}{4-y} é constante em relação a x (porque depende só de y e da constante c). Então
\int_{x=0}^{\sqrt{4-y}}\frac{x c^{2} y}{4-y}\,dx = \frac{c^{2}y}{4-y}\int_{0}^{\sqrt{4-y}} x\,dx.
Agora calculemos \int_{0}^{\sqrt{4-y}} x\,dx. Usamos a primitiva de x, que é \tfrac{1}{2}x^{2}. Portanto
\int_{0}^{\sqrt{4-y}} x\,dx = \left[\tfrac{1}{2}x^{2}\right]_{0}^{\sqrt{4-y}} = \tfrac{1}{2}\big(\sqrt{4-y}\big)^{2} = \tfrac{1}{2}(4-y).

Passo 5

Substituindo esse resultado na integral interna obtemos
\frac{c^{2}y}{4-y}\cdot \tfrac{1}{2}(4-y) = \tfrac{1}{2}c^{2}y,
ou seja, a dependência (4-y) cancela — bom sinal, simplifica bastante. Assim a integral dupla reduz-se a uma integral simples em y:
\int_{0}^{4}\tfrac{1}{2}c^{2}y\,dy.
Agora integramos em y. A primitiva de y é \tfrac{1}{2}y^{2}, então
\int_{0}^{4}\tfrac{1}{2}c^{2}y\,dy = \tfrac{1}{2}c^{2}\left[\tfrac{1}{2}y^{2}\right]_{0}^{4} = \tfrac{1}{2}c^{2}\cdot \tfrac{1}{2}\cdot 4^{2}.

Passo 6

Continuando a simplificação numérica:
\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{2}\cdot 4^{2} = \tfrac{1}{4}\cdot 16 = 4.
Multiplicando por c^{2} obtemos o valor final da integral:
4c^{2}.
Fica a observação: mesmo parecendo complicada pela presença de \dfrac{1}{4-y}, a troca de ordem e a integração em x fizeram esse fator se cancelar, resultando numa integral simples em y. Você mandou bem pedindo a inversão — frequentemente ela simplifica muito.

Resposta

4c^{2}

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