30 Suponha que 10 mols de etano ( \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6} ) estejam confinados num vaso de 9,420 \mathrm{~L} a 563 K . Estime a pressão do gás empregando: a) A equação dos gases perfeitos, b) A equação de Van der Waals.
Dados: constantes de Van der Waals ( \mathrm{a}=5.562 \mathrm{~L}^{2} \mathrm{~atm} / \mathrm{mol}^{2} \mathrm{e} \mathrm{b}=0,06380 \mathrm{~L} / \mathrm{mol} ) Constantes críticas do etano: \mathrm{Tc}=562,7 \mathrm{~K} ; \mathrm{Pc}=48,6 \mathrm{~atm}

Passo 1

O enunciado pede que eu estime a pressão de 10 mols de etano ( \mathrm{C}_2\mathrm{H}_6) que estão confinados num vaso de volume 9,420\\ \mathrm{L} à temperatura 563\\ \mathrm{K}, usando duas aproximações:
a) a equação dos gases perfeitos;
b) a equação de Van der Waals.
Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente):
n=10\\ \mathrm{mol},\quad V=9,420\\ \mathrm{L},\quad T=563\\ \mathrm{K},
constantes de Van der Waals:
a=5,562\\ \mathrm{L}^2\mathrm{atm}/\mathrm{mol}^2,\quad b=0,06380\\ \mathrm{L}/\mathrm{mol},
constantes críticas (fornecidas, mas não necessárias diretamente para as contas pedidas):
T_c=562,7\\ \mathrm{K},\quad P_c=48,6\\ \mathrm{atm}.
Constante dos gases que vou usar:
R=0,082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.

Passo 2

Explicação e aplicação da equação dos gases perfeitos.
A equação dos gases perfeitos é
PV=nRT.
Aqui:
  • P é a pressão do gás (o que queremos);
  • V é o volume ocupado pelo gás (em \mathrm{L});
  • n é o número de mols;
  • R é a constante dos gases (em \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}});
  • T é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}).
Isolando P temos
P=\frac{nRT}{V}.
Vou calcular passo a passo os termos numéricos para poder fazer essa divisão sem pular etapas.

Passo 3

Cálculo numérico para o gás perfeito.
Calculo primeiro R\cdot T:
R\cdot T = 0,082057\cdot 563.
Faço em duas parcelas: 0,082057\cdot 500 = 41,0285 e 0,082057\cdot 63 = 5,169591. Somando:
R\cdot T = 41,0285 + 5,169591 = 46,198091.
Agora nRT = 10\cdot 46,198091 = 461,98091.
Finalmente
P_{\text{ideal}}=\frac{461,98091}{9,420}.
Faço a divisão longa (ou aproximação controlada): isso dá
P_{\text{ideal}}\approx 49,043\\ \mathrm{atm}.
Comentário amigável: o resultado é um número na faixa de dezenas de atm (pressão alta, porque tem muitos mols num volume pequeno). Segura aí, que agora vamos melhorar a conta com Van der Waals.

Passo 4

Apresentação da equação de Van der Waals e significado físico.
A equação de Van der Waals corrige o modelo ideal considerando:
  • volume finito das moléculas (correção por b): o volume livre ao movimento é V-nb em vez de V;
  • forças intermoleculares atrativas (correção por a): adiciona um termo a(n/V)^2 que aumenta a pressão efetiva dentro dos parênteses.
A forma da equação é
\left(P + a\left(\frac{n}{V}\right)^2\right)\left(V-nb\right)=nRT.
Isolando P obtemos a forma conveniente para cálculo:
P = \frac{nRT}{V-nb} - a\left(\frac{n}{V}\right)^2.
Aqui:
  • a tem unidades \mathrm{L}^2\mathrm{atm}/\mathrm{mol}^2;
  • b tem unidades \mathrm{L}/\mathrm{mol};
  • \frac{n}{V} é a densidade molar ( \mathrm{mol}/\mathrm{L}).

Passo 5

Cálculo de V-nb (a correção de volume).
Calculo nb:
nb = 10\cdot 0,06380 = 0,6380\\ \mathrm{L}.
Então
V-nb = 9,420 - 0,6380 = 8,782\\ \mathrm{L}.

Passo 6

Cálculo do primeiro termo \dfrac{nRT}{V-nb}.
Já tínhamos nRT = 461,98091 (do Passo 3). Então
\frac{nRT}{V-nb} = \frac{461,98091}{8,782}.
Faço a divisão: isso dá aproximadamente
\frac{nRT}{V-nb}\approx 52,608\\ \mathrm{atm}.

Passo 7

Cálculo do termo de correção a\left(\dfrac{n}{V}\right)^2.
Primeiro a densidade molar:
\frac{n}{V}=\frac{10}{9,420}=\frac{500}{471}\approx 1,061563\\ \mathrm{mol/L}.
Agora o quadrado:
\left(\frac{n}{V}\right)^2 \approx 1,061563^2 \approx 1,126916\\ \mathrm{mol^2/L^2}.
Multiplico por a:
a\left(\frac{n}{V}\right)^2 = 5,562\cdot 1,126916 \approx 6,268\\ \mathrm{atm}.

Passo 8

Cálculo final da pressão segundo Van der Waals.
Usando a fórmula
P_{\text{vdW}} = \frac{nRT}{V-nb} - a\left(\frac{n}{V}\right)^2,
substituo os valores encontrados:
P_{\text{vdW}} \approx 52,608 - 6,268 = 46,340\\ \mathrm{atm}.
Interpretação curta e motivadora: a correção de Van der Waals diminui a pressão prevista pelo gás ideal, porque as forças atrativas entre moléculas reduzem a tendência de as moléculas “baterem” nas paredes, e também porque o volume efetivo disponível é menor. Aqui a diferença é de alguns atm — relevante, mas não enorme.

Resposta

P_{\text{ideal}} \approx 49,043\\ \mathrm{atm}
P_{\text{vdW}} \approx 46,340\\ \mathrm{atm}

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