(Concurso - - IF-PI.2022)(Valor: 1,0 pt.) Considere o modelo de um fluido em equilíbrio no campo gravitacional. Admitindo que o fluido é um gás ideal contido na atmosfera isotérmica (a temperatura ( 7 ) ao longo de uma camada da atimosféra, é em média, constante), e sabendo que a densidade e a pressāo em z=0 são " \rho_{0} "e " P_{0} ", encontre a pressão em função da altitude z ( g é intensidade da gravidade).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a pressão como função da altitude z para um gás ideal em equilíbrio no campo gravitacional, sob a hipótese de atmosfera isotérmica (a temperatura é constante ao longo da camada considerada).\n
Dados fornecidos e o que devemos usar:
  • A pressão e a densidade no nível z=0 são \rho_{0} e P_{0}, respectivamente.
  • A gravidade tem intensidade g.
  • A temperatura T é constante (isotérmica).
  • O fluido obedece à lei dos gases ideais.\n
    Objetivo: determinar P(z), a pressão em função da altitude z, usando as informações acima.

Passo 2

Equilíbrio hidrostático (balanço de forças num elemento de fluido).\n
Vamos considerar uma coluna vertical de área de base A e espessura infinitesimal dz situada na altitude z. As forças verticais sobre essa lâmina são:
  • força para cima devido à pressão na face inferior: P(z)\,A,
  • força para baixo devido à pressão na face superior: P(z+dz)\,A,
  • peso da lâmina para baixo: massa \times g = \rho(z)\,A\,dz\cdot g.\n
    Em equilíbrio estático, a soma das forças é zero. Subtraindo a pressão superior da inferior e somando o peso, obtemos
P(z)A - P(z+dz)A - \rho(z)A\,dz\,g = 0.
Dividindo por A e rearranjando, passando para a notação diferencial, obtemos a equação diferencial da hidrostática:
\frac{dP}{dz} = -\rho(z)\,g.
Aqui \rho(z) é a densidade do gás na altitude z. A equação diz que a variação da pressão com a altura é negativa (a pressão diminui subindo) e proporcional à densidade local.

Passo 3

Lei dos gases ideais e relação entre P e \rho.\n
Usamos a forma molar da lei dos gases ideais:
P V = n R T,
onde R é a constante universal dos gases, n é o número de mols, T a temperatura e V o volume.\n
A densidade de massa \rho (massa por volume) relaciona-se com n por \rho = \frac{m}{V} = \frac{n M}{V}, onde M é a massa molar do gás (em \mathrm{kg/mol}).\n
De P V = n R T dividindo ambos os lados por V e substituindo n/V = \rho/M, obtemos:
P = \frac{\rho}{M}\,R\,T \quad\Longrightarrow\quad \rho = \frac{M}{R T}\,P.
Explicando cada símbolo:
  • \rho é a densidade (kg/m^3),
  • M é a massa molar (kg/mol),
  • R é a constante universal dos gases ( \approx 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}),
  • T é a temperatura absoluta (K),
  • P é a pressão (Pa).\n
    Essa relação é válida porque o gás é ideal e T é constante (isotérmico).

Passo 4

Substituição na equação de equilíbrio e obtenção da equação diferencial para P.\n
Substituindo \rho(z)=\dfrac{M}{R T}\,P(z) em \dfrac{dP}{dz} = -\rho(z)\,g, obtemos:
\frac{dP}{dz} = -\frac{M g}{R T}\,P(z).
Esta é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem para P(z), mais precisamente uma equação de decaimento exponencial (equação de tipo separável).

Passo 5

Resolvendo a equação diferencial (separação de variáveis e integração).\n
A equação tem a forma \dfrac{dP}{dz} = -\alpha P com \alpha = \dfrac{M g}{R T} constante (porque M,g,R,T são constantes). Separamos variáveis:
\frac{dP}{P} = -\frac{M g}{R T}\,dz.
Integramos ambos os lados: integrar P de P_{0} até P(z) e z de 0 até z:
\int_{P_{0}}^{P(z)}\frac{dP'}{P'} = -\frac{M g}{R T}\int_{0}^{z}dz'.
A integral do lado esquerdo é \ln\!\big(P(z)\big)-\ln\!\big(P_{0}\big). A integral do lado direito é -\dfrac{M g}{R T}\,z. Logo:
\ln\!\big(P(z)\big)-\ln\!\big(P_{0}\big) = -\frac{M g}{R T}\,z.

Passo 6

Exponenciando e aplicando a condição inicial para obter P(z).\n
Aplicando exponencial em ambos os lados da equação anterior, obtemos:
\frac{P(z)}{P_{0}} = \exp\!\left(-\frac{M g}{R T}\,z\right).
Portanto a pressão em função da altitude é
P(z) = P_{0}\,\exp\!\left(-\frac{M g}{R T}\,z\right).
Isso é a famosa fórmula barométrica para uma atmosfera isoterma. Ela mostra que a pressão decresce exponencialmente com a altitude, com escala de decaimento caracterizada por \dfrac{R T}{M g}.\n
Observação útil: se preferirmos usar a constante gasosa específica do gás R_s = \dfrac{R}{M} (unidades J/(kg·K)), a expressão fica
P(z) = P_{0}\,\exp\!\left(-\frac{g z}{R_{s} T}\right).

Resposta

P(z)=P_{0}\exp\!\left(-\dfrac{M g z}{R T}\right)

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