(Concurso - - IF-PI.2022)(Valor: 1,0 pt.) Considere o modelo de um fluido em equilíbrio no campo gravitacional. Admitindo que o fluido é um gás ideal contido na atmosfera isotérmica (a temperatura ( 7 ) ao longo de uma camada da atimosféra, é em média, constante), e sabendo que a densidade e a pressāo em
são "
"e "
", encontre a pressão em função da altitude
(
é intensidade da gravidade).
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a pressão como função da altitude
para um gás ideal em equilíbrio no campo gravitacional, sob a hipótese de atmosfera isotérmica (a temperatura é constante ao longo da camada considerada).\n
Dados fornecidos e o que devemos usar:
Dados fornecidos e o que devemos usar:
- A pressão e a densidade no nível
são e , respectivamente. - A gravidade tem intensidade
. - A temperatura
é constante (isotérmica). - O fluido obedece à lei dos gases ideais.\n
Objetivo: determinar, a pressão em função da altitude , usando as informações acima.
Passo 2
Equilíbrio hidrostático (balanço de forças num elemento de fluido).\n
Vamos considerar uma coluna vertical de área de base e espessura infinitesimal
situada na altitude
. As forças verticais sobre essa lâmina são:
Vamos considerar uma coluna vertical de área de base
- força para cima devido à pressão na face inferior:
, - força para baixo devido à pressão na face superior:
, - peso da lâmina para baixo: massa
= .\n
Em equilíbrio estático, a soma das forças é zero. Subtraindo a pressão superior da inferior e somando o peso, obtemos
Dividindo por
e rearranjando, passando para a notação diferencial, obtemos a equação diferencial da hidrostática:
Aqui
é a densidade do gás na altitude
. A equação diz que a variação da pressão com a altura é negativa (a pressão diminui subindo) e proporcional à densidade local.
Passo 3
Lei dos gases ideais e relação entre
e
.\n
Usamos a forma molar da lei dos gases ideais:
Usamos a forma molar da lei dos gases ideais:
onde
é a constante universal dos gases,
é o número de mols,
a temperatura e
o volume.\n
A densidade de massa (massa por volume) relaciona-se com
por
, onde
é a massa molar do gás (em
).\n
De dividindo ambos os lados por
e substituindo
, obtemos:
A densidade de massa
De
Explicando cada símbolo:
-
é a densidade (kg/m^3), -
é a massa molar (kg/mol), -
é a constante universal dos gases ( ), -
é a temperatura absoluta (K), -
é a pressão (Pa).\n
Essa relação é válida porque o gás é ideal eé constante (isotérmico).
Passo 4
Substituição na equação de equilíbrio e obtenção da equação diferencial para
.\n
Substituindo em
, obtemos:
Substituindo
Esta é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem para
, mais precisamente uma equação de decaimento exponencial (equação de tipo separável).
Passo 5
Resolvendo a equação diferencial (separação de variáveis e integração).\n
A equação tem a forma com
constante (porque
são constantes). Separamos variáveis:
A equação tem a forma
Integramos ambos os lados: integrar
de
até
e
de
até
:
A integral do lado esquerdo é
. A integral do lado direito é
. Logo:
Passo 6
Exponenciando e aplicando a condição inicial para obter
.\n
Aplicando exponencial em ambos os lados da equação anterior, obtemos:
Aplicando exponencial em ambos os lados da equação anterior, obtemos:
Portanto a pressão em função da altitude é
Isso é a famosa fórmula barométrica para uma atmosfera isoterma. Ela mostra que a pressão decresce exponencialmente com a altitude, com escala de decaimento caracterizada por
.\n
Observação útil: se preferirmos usar a constante gasosa específica do gás (unidades J/(kg·K)), a expressão fica
Observação útil: se preferirmos usar a constante gasosa específica do gás