Questão 18. Uma escada uniforme de comprimento
e massa
, apoiada sobre o chão, com coeficiente de atrito estático
, está encostada a uma parede lisa (atrito desprezível), formando um ângulo
com a parede.
a) Para que domínio de valores de
a escada não escorrega?
b) Qual é a distância
máxima que um homem de massa
pode subir ao longo da escada sem que a escada escorregue?
a) Para que domínio de valores de
b) Qual é a distância
Passo 1
O enunciado dá: uma escada uniforme de comprimento
e massa
, encostada numa parede lisa (atrito desprezível na parede) e apoiada no chão cujo coeficiente de atrito estático é
. A escada forma um ângulo
com a parede (ou seja,
é o ângulo entre a escada e a vertical). Perguntas:
a) Para quais valores de a escada não escorrega?
b) Qual é a distância máxima que um homem de massa
pode subir ao longo da escada (medida ao longo da escada a partir da base) sem que a escada escorregue?
a) Para quais valores de
b) Qual é a distância máxima
Dados importantes listados:
- comprimento da escada:
- massa da escada:
- massa do homem:
(aparece só no item b) - coeficiente de atrito estático no chão:
- parede é lisa (logo, no ponto de contato com a parede existe apenas uma normal horizontal, sem atrito)
- gravidade:
(usada nas forças peso)
Observação: vou mantercomo dado (ângulo entre escada e vertical), porque isso corresponde à notação do enunciado e às respostas fornecidas.
Passo 2
Desenho mental e forças: é muito útil imaginar o diagrama de corpo livre da escada. As forças são:
- na base (ponto de apoio no chão): uma reação normal vertical para cima, que chamo de
, e uma força de atrito horizontal (no sentido que impede o escorregamento), que chamo de ; - no topo (ponto de contato com a parede): uma força normal horizontal, que chamo de
(a parede empurra a escada horizontalmente; sem atrito vertical ali); - peso da escada: força vertical para baixo,
, aplicada no centro da escada (distância do pé, ao longo da escada); - quando há o homem (item b): peso do homem
, aplicado no ponto a uma distância do pé ao longo da escada.
Explicando momento (torque) de forma simples: o torque de uma força em relação a um ponto é a força vezes a distância perpendicular desse ponto até a linha de ação da força. Para escolher equações de equilíbrio, é conveniente tomar momentos em relação à base da escada — assim
e
(reações no chão) não aparecem nas equações de momento, simplificando a conta.
Passo 3
Resolvendo (a) — escada sem homem (apenas massa
).
Equilíbrios de forças (módulos / direções):
- equilíbrio vertical:
(porque só o peso atua verticalmente para baixo) - equilíbrio horizontal:
(força de atrito no chão equilibra a normal da parede)
Agora o equilíbrio de torques em relação à base (tomando sentido que anula o somatório):
- a normal da parede
é horizontal e tem braço vertical igual à coordenada vertical do ponto de contato do topo: essa distância vertical é (pois é ângulo com a vertical). Assim o momento devido a em torno da base é . - o peso
age no centro, cuja distância horizontal ao pivô (braço que produz momento) é . Assim o momento produzido pelo peso é .
Condição de equilíbrio de momentos:
Simplificando (cancelando
):
Como a força de atrito máxima disponível no chão vale
, para não escorregar precisamos que a força horizontal necessária (
) seja menor ou igual à força de atrito máxima:
Substituindo
:
Cancelando
:
Multiplicando por 2:
Essa é a condição pedido em (a): para ângulos com a parede
satisfazendo
, a escada não escorrega.
Comentário rápido e amigável: a desigualdade mostra que, se
for muito grande (escada muito inclinada em relação à parede, ou seja, quase horizontal),
cresce e pode violar a condição; como a parede é lisa, o atrito só no chão precisa segurar toda a tendência de escorregamento.
Passo 4
Preparação para (b): agora colocamos o homem de massa
a uma distância
ao longo da escada a partir da base. Reescrevemos as equações de equilíbrio incluindo o peso adicional:
- equilíbrio vertical:
. - equilíbrio horizontal:
(mesma ideia). - equilíbrio de momentos em relação à base: o momento que tende a fazer girar a escada é a soma dos momentos dos pesos (
e ); a resistência ao giro é a normal da parede .
Detalhando os braços:
- momento da normal da parede:
(mesmo que antes); - momento do peso da escada:
(mesmo que antes); - momento do peso do homem:
(o braço horizontal do homem é , análogo ao caso do centro).
Equação de momentos (somando os momentos dos pesos igualando ao momento devido a
):
Passo 5
Isolando
e impondo condição de atrito máximo para encontrar
.
Da equação de momentos,
Simplificando o numerador e cancelando onde possível:
A condição de não escorregar é
. Para achar a distância máxima
tomamos a igualdade (limite do atrito):
Cancelando
:
Isolando
:
Finalmente, isolando
:
Podemos reescrever essa expressão de forma equivalente, usando
, e fatorando
, para ficar com a forma pedida no enunciado:
Passo 6
Verificação rápida de consistência (intuitiva): se
(homem desprezível), a fórmula dá
que diverge por
(não faz sentido físico porque
trivialmente não afeta) — mas para
finito a expressão mostra que quanto maior
ou quanto menor
(maior
se
pequeno), maior
. Também o limite físico é que
deve ser não-negativo; quando a expressão for negativa significa que, mesmo com o homem na base, a escada já estaria no limite (ou formula indica que ele não pode subir).
Resposta
(a)
(b)
(b)