Questão 18. Uma escada uniforme de comprimento l e massa M, apoiada sobre o chão, com coeficiente de atrito estático \mu_{e}, está encostada a uma parede lisa (atrito desprezível), formando um ângulo \theta com a parede.
a) Para que domínio de valores de \theta a escada não escorrega? \mathbf{R}: \tan \theta \leq 2 \mu_{e}
b) Qual é a distância d máxima que um homem de massa m pode subir ao longo da escada sem que a escada escorregue? \mathbf{R}: d=\frac{M}{m} l\left[\mu_{c} \operatorname{cotg} \theta\left(1+\frac{m}{M}\right)-\frac{1}{2}\right]

Passo 1

O enunciado dá: uma escada uniforme de comprimento \\ l e massa \\ M, encostada numa parede lisa (atrito desprezível na parede) e apoiada no chão cujo coeficiente de atrito estático é \mu_{e}. A escada forma um ângulo \theta com a parede (ou seja, \theta é o ângulo entre a escada e a vertical). Perguntas:
a) Para quais valores de \theta a escada não escorrega?
b) Qual é a distância máxima d que um homem de massa m pode subir ao longo da escada (medida ao longo da escada a partir da base) sem que a escada escorregue?
Dados importantes listados:
  • comprimento da escada: \\ l
  • massa da escada: \\ M
  • massa do homem: \\ m (aparece só no item b)
  • coeficiente de atrito estático no chão: \mu_{e}
  • parede é lisa (logo, no ponto de contato com a parede existe apenas uma normal horizontal, sem atrito)
  • gravidade: g (usada nas forças peso)
    Observação: vou manter \theta como dado (ângulo entre escada e vertical), porque isso corresponde à notação do enunciado e às respostas fornecidas.

Passo 2

Desenho mental e forças: é muito útil imaginar o diagrama de corpo livre da escada. As forças são:
  • na base (ponto de apoio no chão): uma reação normal vertical para cima, que chamo de \;N\;, e uma força de atrito horizontal (no sentido que impede o escorregamento), que chamo de \;f\;;
  • no topo (ponto de contato com a parede): uma força normal horizontal, que chamo de \;R\; (a parede empurra a escada horizontalmente; sem atrito vertical ali);
  • peso da escada: força vertical para baixo, \;M g\;, aplicada no centro da escada (distância \tfrac{l}{2} do pé, ao longo da escada);
  • quando há o homem (item b): peso do homem \;m g\;, aplicado no ponto a uma distância d do pé ao longo da escada.
Explicando momento (torque) de forma simples: o torque de uma força em relação a um ponto é a força vezes a distância perpendicular desse ponto até a linha de ação da força. Para escolher equações de equilíbrio, é conveniente tomar momentos em relação à base da escada — assim N e f (reações no chão) não aparecem nas equações de momento, simplificando a conta.

Passo 3

Resolvendo (a) — escada sem homem (apenas massa M).
Equilíbrios de forças (módulos / direções):
  • equilíbrio vertical: \;N = M g\; (porque só o peso atua verticalmente para baixo)
  • equilíbrio horizontal: \;f = R\; (força de atrito no chão equilibra a normal da parede)
Agora o equilíbrio de torques em relação à base (tomando sentido que anula o somatório):
  • a normal da parede \;R\; é horizontal e tem braço vertical igual à coordenada vertical do ponto de contato do topo: essa distância vertical é \;l\cos\theta\; (pois \theta é ângulo com a vertical). Assim o momento devido a R em torno da base é \;R\cdot l\cos\theta\;.
  • o peso \;M g\; age no centro, cuja distância horizontal ao pivô (braço que produz momento) é \tfrac{l}{2}\sin\theta. Assim o momento produzido pelo peso é \;M g\cdot \tfrac{l}{2}\sin\theta\;.
Condição de equilíbrio de momentos:
R\cdot l\cos\theta = M g \cdot \frac{l}{2}\sin\theta.
Simplificando (cancelando l):
R = \frac{M g}{2}\tan\theta.
Como a força de atrito máxima disponível no chão vale \;f_{\max}=\mu_{e} N=\mu_{e} M g\;, para não escorregar precisamos que a força horizontal necessária ( R) seja menor ou igual à força de atrito máxima:
R \le \mu_{e} M g.
Substituindo R:
\frac{M g}{2}\tan\theta \le \mu_{e} M g.
Cancelando M g>0:
\frac{1}{2}\tan\theta \le \mu_{e}.
Multiplicando por 2:
\tan\theta \le 2\mu_{e}.
Essa é a condição pedido em (a): para ângulos com a parede \theta satisfazendo \tan\theta \le 2\mu_{e}, a escada não escorrega.
Comentário rápido e amigável: a desigualdade mostra que, se \theta for muito grande (escada muito inclinada em relação à parede, ou seja, quase horizontal), \tan\theta cresce e pode violar a condição; como a parede é lisa, o atrito só no chão precisa segurar toda a tendência de escorregamento.

Passo 4

Preparação para (b): agora colocamos o homem de massa m a uma distância d ao longo da escada a partir da base. Reescrevemos as equações de equilíbrio incluindo o peso adicional:
  • equilíbrio vertical: \;N = (M + m) g\;.
  • equilíbrio horizontal: \;f = R\; (mesma ideia).
  • equilíbrio de momentos em relação à base: o momento que tende a fazer girar a escada é a soma dos momentos dos pesos ( M g e m g); a resistência ao giro é a normal da parede R.
Detalhando os braços:
  • momento da normal da parede: \;R\cdot l\cos\theta\; (mesmo que antes);
  • momento do peso da escada: \;M g\cdot \tfrac{l}{2}\sin\theta\; (mesmo que antes);
  • momento do peso do homem: \;m g\cdot d \sin\theta\; (o braço horizontal do homem é d\sin\theta, análogo ao caso do centro).
Equação de momentos (somando os momentos dos pesos igualando ao momento devido a R):
R\cdot l\cos\theta = M g\cdot \frac{l}{2}\sin\theta + m g\cdot d\sin\theta.

Passo 5

Isolando R e impondo condição de atrito máximo para encontrar d_{\max}.
Da equação de momentos,
R = \frac{M g\cdot \frac{l}{2}\sin\theta + m g\cdot d\sin\theta}{l\cos\theta}.
Simplificando o numerador e cancelando onde possível:
R = g\cdot\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\left(\frac{M}{2} + \frac{m d}{l}\right) = g\tan\theta\left(\frac{M}{2} + \frac{m d}{l}\right).
A condição de não escorregar é R \le \mu_{e} N = \mu_{e} (M + m) g. Para achar a distância máxima d tomamos a igualdade (limite do atrito):
g\tan\theta\left(\frac{M}{2} + \frac{m d}{l}\right) = \mu_{e}(M + m) g.
Cancelando g:
\tan\theta\left(\frac{M}{2} + \frac{m d}{l}\right) = \mu_{e}(M + m).
Isolando \dfrac{m d}{l}:
\frac{m d}{l} = \frac{\mu_{e}(M + m)}{\tan\theta} - \frac{M}{2}.
Finalmente, isolando d:
d = \frac{l}{m}\left[\frac{\mu_{e}(M + m)}{\tan\theta} - \frac{M}{2}\right].
Podemos reescrever essa expressão de forma equivalente, usando \cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta}, e fatorando \dfrac{M}{m}, para ficar com a forma pedida no enunciado:
d = \frac{M}{m}\,l\left[\mu_{e}\cot\theta\left(1+\frac{m}{M}\right)-\frac{1}{2}\right].

Passo 6

Verificação rápida de consistência (intuitiva): se m\to 0 (homem desprezível), a fórmula dá d\to -\dfrac{M}{2}\cdot \dfrac{l}{m} que diverge por 1/m (não faz sentido físico porque m\to0 trivialmente não afeta) — mas para m finito a expressão mostra que quanto maior \mu_{e} ou quanto menor \theta (maior \cot\theta se \theta pequeno), maior d_{\max}. Também o limite físico é que d deve ser não-negativo; quando a expressão for negativa significa que, mesmo com o homem na base, a escada já estaria no limite (ou formula indica que ele não pode subir).

Resposta

(a) \tan\theta \le 2\mu_{e}
(b) \displaystyle d=\frac{M}{m}\,l\left[\mu_{e}\cot\theta\left(1+\frac{m}{M}\right)-\frac{1}{2}\right]

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