2a Parte - Cálculos
Numa barra de Silício de 10 \mu \mathrm{~m} de comprimento, dopada com fósforo, determine qual deve ser a concentração de dadores de forma a obter-se uma densidade de corrente de 1 \mathrm{~mA} / \mu \mathrm{m}^{2} em resposta a um campo aplicado de 0,5 \mathrm{~V}. (assuma as mobilidades do Si intrínseco).

Passo 1

O enunciado dá uma barra de silício dopada com fósforo (tipo n) de comprimento L=10\:\mu\text{m}, na qual queremos obter densidade de corrente J=1\:\mathrm{mA}/\mu\text{m}^2 quando aplicamos V=0{,}5\:\text{V}. O conteúdo usado é a corrente de deriva em semicondutor:
J = q\,(n\mu_n + p\mu_p)\,E
e, para dopagem razoavelmente alta, podemos ignorar a contribuição das lacunas p\ll n, ficando
J \approx q\,n\,\mu_n\,E.
Vamos usar as mobilidades do silício intrínseco: \mu_n = 1350\:\mathrm{cm^2/Vs} e \mu_p=480\:\mathrm{cm^2/Vs}.

Passo 2

Convertendo para unidades SI:
L = 10\:\mu\text{m} = 10\times10^{-6}\:\mathrm{m},\quad J = 1\:\mathrm{mA}/\mu\text{m}^2 = \frac{1\times10^{-3}\:\mathrm{A}}{1\times10^{-12}\:\mathrm{m^2}} = 1\times10^{9}\:\mathrm{A/m^2}.
O campo elétrico é
E = \frac{V}{L} = \frac{0{,}5\:\mathrm{V}}{10\times10^{-6}\:\mathrm{m}} = 5\times10^{4}\:\mathrm{V/m}.
A mobilidade de elétrons em SI é
\mu_n = 1350\:\frac{\mathrm{cm^2}}{\mathrm{V\,s}} = 1350\times10^{-4}\:\frac{\mathrm{m^2}}{\mathrm{V\,s}} =0{,}135\:\frac{\mathrm{m^2}}{\mathrm{V\,s}}.

Passo 3

Na região de condução, como é semicondutor tipo n com dopagem alta, assume-se n\approx N_D e p\ll n, então
J \approx q\,N_D\,\mu_n\,E,
onde q=1{,}6\times10^{-19}\:\mathrm{C}.

Passo 4

Isolando N_D e substituindo valores:
N_D = \frac{J}{q\,\mu_n\,E} = \frac{1\times10^{9}}{(1{,}6\times10^{-19})\,(0{,}135)\,(5\times10^{4})} \:\mathrm{m^{-3}}.
Calculemos o denominador:
1{,}6\times10^{-19}\times0{,}135\times5\times10^{4} =1{,}08\times10^{-15}.
Logo
N_D = \frac{1\times10^{9}}{1{,}08\times10^{-15}} \approx9,3\times10^{23}\:\mathrm{m^{-3}}.

Passo 5

Convertendo para \mathrm{cm^{-3}} (pois 1\:\mathrm{m^3}=10^{6}\:\mathrm{cm^3}):
N_D \approx 9,3\times10^{23}\:\mathrm{m^{-3}} =9,3\times10^{17}\:\mathrm{cm^{-3}}.

Resposta

A concentração de doadores deve ser
N_D \approx 9,3\times10^{23}\:\mathrm{m^{-3}} \quad(\approx9,3\times10^{17}\:\mathrm{cm^{-3}}).

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