4 É frequentemente desejável irradiar a maior parte da energia de um transmissor de rádio em direções específicas, em vez de uniformemente em todas as direções. Pares ou fileiras de antenas são usualmente utilizados para produzir o padrão de radiação desejado.
Considere duas antenas verticais idênticas a 400 m de distância, operando a 1500 kHz (próximo ao limite superior da banda de transmissão AM) e oscilando em fase. Em quais direções a intensidade das duas antenas é maior a distâncias superiores que 400 m ?

Passo 1

O enunciado tem duas antenas idênticas separadas por d=400 m, radiando em fase na frequência f=1500 kHz. Queremos achar, no campo distante r\gg d, as direções em que a intensidade resultante é máxima. O conteúdo usado será interferência de duas fontes coerentes, com diferença de caminho e condição de máximos.

Passo 2

A partir de
\lambda = \frac{c}{f}
com c=3\times10^8,m/s e f=1{,}5\times10^6,Hz, vem
\lambda = \frac{3\times10^8}{1{,}5\times10^6}=200\text{ m}.

Passo 3

No campo distante, se \theta é o ângulo entre a direção de observação e a normal à reta que une as antenas, a diferença de caminho é
\Delta = d\sin\theta,
e a diferença de fase vale
\delta = \frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta = \frac{2\pi}{\lambda}\,d\sin\theta.
A intensidade resultante varia como \cos^2(\tfrac{\delta}{2}).

Passo 4

Para obter máximos de intensidade precisamos de
\delta = 2\pi m,\quad m\in\mathbb Z,
isto é
\frac{2\pi}{\lambda}\,d\sin\theta = 2\pi m \;\Longrightarrow\; d\sin\theta = m\,\lambda.

Passo 5

Substituindo d=400,m e \lambda=200,m na equação acima, obtemos
\sin\theta = \frac{m\lambda}{d} = \frac m2.
Como |\sin\theta|\le1, só podem ocorrer máximos para
m=0,\pm1,\pm2.
Isso dá
m=0\quad\Rightarrow\quad \theta=0^\circ,
m=\pm1\quad\Rightarrow\quad \theta=\pm\arcsin\bigl(\tfrac12\bigr)=\pm30^\circ,
m=\pm2\quad\Rightarrow\quad \theta=\pm\arcsin(1)=\pm90^\circ.

Resposta

As direções de máxima intensidade no campo distante são \theta=0^\circ, \pm30^\circ e \pm90^\circ em relação à normal à reta que une as antenas.

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