2a Parte - Cálculos
Para um substrato de silício dopado com N_{A}=2 \times 10^{14} / \mathrm{cm}^{3}, demonstre matematicamente que contribuição dos portadores minoritários para a condutividade total é desprezível em relação a contribuição dos portadores majoritários.

Passo 1

O enunciado pede para um silício tipo P dopado com \,N_A=2\times10^{14}\,\mathrm{cm^{-3}} mostrar que a condutividade dos portadores minoritários (elétrons) é desprezível em relação aos majoritários (buracos). Vamos usar as relações de portadores em semicondutor intrínseco, a lei da ação das massas e a expressão da condutividade elétrica.

Passo 2

Em equilíbrio térmico vale a lei da ação das massas
n\,p = n_i^2
onde n_i é a concentração intrínseca do silício (tipicamente n_i\approx1{,}5\times10^{10}\,\mathrm{cm^{-3}}). Num substrato P fortemente dopado temos p\approx N_A e
n = \frac{n_i^2}{p} \approx \frac{n_i^2}{N_A}\,.

Passo 3

A condutividade total é
\sigma = q\,(n\,\mu_n + p\,\mu_p)
onde q é a carga elementar, \mu_n e \mu_p são as mobilidades de elétrons e de buracos, respectivamente.

Passo 4

Definimos a razão entre a contribuição minoritária e a majoritária:
\frac{\sigma_{\rm minoritária}}{\sigma_{\rm majoritária}} =\frac{q\,n\,\mu_n}{q\,p\,\mu_p} =\frac{n\,\mu_n}{p\,\mu_p}\,.áá

Passo 5

Substituindo n=n_i^2/N_A e p=N_A obtemos
\frac{\sigma_{\rm min}}{\sigma_{\rm maj}} =\frac{\displaystyle\frac{n_i^2}{N_A}\,\mu_n}{N_A\,\mu_p} =\frac{n_i^2}{N_A^2}\,\frac{\mu_n}{\mu_p}\,.

Passo 6

Agora usamos valores típicos em temperatura ambiente: \,n_i=1{,}5\times10^{10}\,\mathrm{cm^{-3}}, \,N_A=2\times10^{14}\,\mathrm{cm^{-3}}, \,\mu_n\approx1350\,\mathrm{cm^2/V\,s} e \,\mu_p\approx480\,\mathrm{cm^2/V\,s}. Então
\frac{\sigma_{\rm min}}{\sigma_{\rm maj}} =\frac{(1{,}5\times10^{10})^2}{(2\times10^{14})^2}\, \frac{1350}{480} \approx\frac{2{,}25\times10^{20}}{4\times10^{28}}\times2{,}8125 \approx1{,}6\times10^{-8}\times2{,}8125 \approx4{,}5\times10^{-8}\ll1.

Passo 7

Como a razão \sigma_{\rm min}/\sigma_{\rm maj} fica da ordem de 10^{-8}, concluímos que a contribuição dos elétrons (portadores minoritários) na condutividade total é totalmente desprezível diante da dos buracos (portadores majoritários).

Resposta

A contribuição dos portadores minoritários na condutividade é cerca de 10^{-8} vezes a dos majoritários, portanto desprezível.

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