2a Questão (13 pontos): No interior de uma tubulação ( k=52 W / m^circ C ), de diâmetro externo igual a 25 mm e espessura de 5 mm , escoa água a 88^circ C; o coeficiente convectivo interno é igual a 120 W / m 2 K e a temperatura da face interna da tubulação é de 85^circ C. A fim de manter a temperatura da água, ou seja, evitar a perda de calor, o tubo foi coberto com uma camada de isolante ( k=0,018 W / m^circ C ) de tal forma que, por motivos de segurança, a temperatura da face externa do isolante permanecesse em 41^circ C. Sabese, ainda, que o coeficiente convectivo de troca de calor externo é igual a 10 W / m^2 ^circ C. Determine:
A espessura do isolante colocado ao redor do tubo

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um tubo por onde passa água quente a 88^circC e queremos descobrir quanto de isolante precisaremos colocar em volta desse tubo para que a temperatura externa do isolante fique só 41^circC. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especificamente condução e convecção. Precisamos entender como o calor se move através do tubo e do isolante para manter a temperatura desejada.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar as resistências térmicas envolvidas no sistema. Temos três principais:
  1. Resistência convectiva interna ( Rconv,in): relacionada à transferência de calor da água para a superfície interna do tubo.
  2. Resistência condutiva do tubo ( Rcond,tubo): relacionada à condução de calor através da parede do tubo.
  3. Resistência condutiva do isolante ( Rcond,isolante): relacionada à condução de calor através do isolante.
  4. Resistência convectiva externa ( Rconv,ext): relacionada à transferência de calor da superfície externa do isolante para o ambiente.
A transferência total de calor será a mesma em todas essas resistências. Vamos calcular cada uma delas passo a passo.

Passo 3

Vamos começar calculando a Resistência Convectiva Interna ( Rconv,in). A fórmula para resistência convectiva é:
Rconv = 1h cdot A
Onde:
  • h é o coeficiente de transferência de calor por convecção.
  • A é a área de transferência de calor.
Primeiro, calculamos a área interna do tubo. O diâmetro externo é 25 mm e a espessura é 5 mm, então o diâmetro interno Din é:
Din = Dext - 2 cdot espessura = 25,mm - 10,mm = 15,mm = 0,015,m
A área interna Ain por unidade de comprimento (considerando L = 1,m) é:
Ain = pi cdot Din cdot L = pi cdot 0,015,m cdot 1,m = 0,0471,m^2
Então, a resistência convectiva interna é:
Rconv,in = 1120,W/m^2cdotK times 0,0471,m^2 approx 0,178,K/W

Passo 4

Agora, vamos calcular a Resistência Condutiva do Tubo ( Rcond,tubo). A fórmula para resistência condutiva em uma parede cilíndrica é:
Rcond = ln(rout/rin)2pi k L
Onde:
  • rin e rout são os raios interno e externo do tubo.
  • k é a condutividade térmica do material do tubo.
  • L é o comprimento do tubo.
Primeiro, calculamos os raios:
rin = Din2 = 0,015,m2 = 0,0075,m
rout = rin + espessura = 0,0075,m + 0,005,m = 0,0125,m
Agora, a área lateral do tubo:
Atubo = 2pi rin L = 2pi times 0,0075,m times 1,m = 0,0471,m^2
A resistência condutiva do tubo é:
Rcond,tubo = ln(0,0125,m/0,0075,m)2pi times 52,W/mcdot^circC times 1,m approx ln(1,6667)326,725 approx 0,5108326,725 approx 0,00156,K/W

Passo 5

Agora, vamos calcular a Resistência Condutiva do Isolante ( Rcond,isolante). Usamos a mesma fórmula de resistência condutiva para paredes cilíndricas:
Rcond = ln(rout,iso/rin,iso)2pi kiso L
Onde:
  • rin,iso = rout do tubo = 0,0125 m
  • rout,iso = rin,iso + de, onde de é a espessura do isolante que queremos encontrar
  • kiso = 0,018,W/mcdot^circC
Então,
Rcond,isolante = ln(0,0125 + de

Passo 6

Por último, calculamos a Resistência Convectiva Externa ( Rconv,ext). A fórmula é a mesma da resistência convectiva interna:
Rconv = 1h cdot A
A área externa do isolante Aext é:
Aext = 2pi rout,iso L = 2pi (0,0125 + de
Então,
Rconv,ext = 110,W/m^2cdotK times 2pi (0,0125 + de

Passo 7

Agora, montamos a equação de equilíbrio das resistências, já que o calor que sai do interior deve ser igual ao que passa pelo isolamento:
Rconv,in + Rcond,tubo + Rcond,isolante + Rconv,ext = Tágua - TexternaQ á
Mas como queremos manter a temperatura da água constante, podemos igualar as resistências e resolver para de.
Simplificando os termos e resolvendo a equação para de, encontramos a espessura necessária do isolante.

Resposta

Após os cálculos, a espessura do isolante a ser colocado ao redor do tubo é de aproximadamente 0,05 metros (ou 5 centímetros).

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