1^ a Questão ( 13 pontos): Considere, agora, uma sala que tenha 4 janelas de vidro duplo, cada uma medindo 1,5 m de largura, 3 m de altura e 5 mm de espessura). As folhas de vidro ( k vidro =1,4 W / m K ) têm espessura de 5 mm com espaçamento de 1,5 cm entre elas (kar=0,26 W / m cdot K). A temperatura do ar externo à sala é de 40^circ C enquanto o ambiente interno é mantido a 18^circ C por um ar condicionado. Os coeficientes convectivos interno e externo são iguais a, respectivamente, 5 W / m^2 K e 20 W / m^2 / K. calcule:
Para que o calor seja reduzido 10 %, qual deve ser o novo espaçamento entre as folhas de vidro?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conhecimentos precisamos usar para resolvê-la.
Enunciado resumido: Temos uma janela com duas folhas de vidro separadas por um espaço de ar. Precisamos descobrir quanto diminuir o espaçamento entre as folhas de vidro para que a transferência de calor seja reduzida em 10%.
Matéria envolvida: Transferência de calor por condução e convecção.
O que vamos precisar:
  • Entender como calcular a transferência de calor em sistemas com múltiplas camadas.
  • Usar a fórmula de resistência térmica para condução e convecção.
  • Aplicar estas fórmulas para encontrar o novo espaçamento que reduz a transferência de calor em 10%.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação da janela. Temos duas folhas de vidro separadas por uma camada de ar. O calor está passando do lado de fora (temperatura de 40°C) para o lado de dentro (temperatura de 18°C) através dessas camadas.
Para calcular a transferência de calor, usamos a ideia de resistências térmicas. É semelhante a resistir à passagem do calor, como se fosse resistência elétrica.

Passo 3

A transferência de calor total $ Q $ pode ser calculada usando a fórmula:
Q
onde $ \Delta T $ é a diferença de temperatura (40°C - 18°C = 22°C) e $ R_{total} $ é a resistência térmica total do sistema.

Passo 4

Vamos calcular as resistências térmicas individuais:
  1. Resistência por convecção no lado externo ($ R_{conv, ext} $):
Rconv, ext
onde $ h_{ext} = 20 , W/m^2\cdotK $ e $ A $ é a área da janela.
  1. Resistência por condução através do vidro ($ R_{cond, vidro} $):
Rconv, ext = 1hext cdot A
onde $ d_{vidro} = 0,005 , m $, $ k_{vidro} = 1,4 , W/m\cdotK $.
  1. Resistência por condução através do ar ($ R_{cond, ar} $):
hext = 20 , W/m^2cdotK
onde $ d_{ar} $ é o espaçamento entre as folhas de vidro que queremos encontrar, $ k_{ar} = 0,26 , W/m\cdotK $.
  1. Resistência por condução através da segunda folha de vidro (igual à primeira):
A
  1. Resistência por convecção no lado interno ($ R_{conv, int} $):
Rcond, vidro
onde $ h_{int} = 5 , W/m^2\cdotK $.

Passo 5

Como temos duas folhas de vidro, a resistência térmica total $ R_{total} $ é a soma das resistências individuais:
Rtotal

Passo 6

Queremos reduzir a transferência de calor em 10%, ou seja, fazer com que $ Q_{novo} = 0,9 \cdot Q_{original} $.
Como $ Q $ é inversamente proporcional a $ R_{total} $:
Qnovo = 0,9 cdot Qoriginal
Portanto,
Q

Passo 7

Vamos calcular a área $ A $ de uma janela:
A

Passo 8

Calculando as resistências térmicas na configuração original ($ d_{ar} = 0,015 , m $):
  1. Conveção externa:
dar = 0,015 , m
  1. Condução através do vidro:
Rconv, ext = 120 times 4,5 = 190 approx 0,0111 , K/W
Como temos duas folhas:
Rcond, vidro = 0,0051,4 times 4,5 = 0,0056,3 approx 0,0007937 , K/W
  1. Condução através do ar:
2 cdot Rcond, vidro approx 0,001587 , K/W
  1. Conveção interna:
Rcond, ar = 0,0150,26 times 4,5 = 0,0151,17 approx 0,01282 , K/W
Somando todas as resistências:
Rconv, int = 15 times 4,5 = 122,5 approx 0,04444 , K/W

Passo 9

Agora, queremos que:
Rtotal, novo = 0,069950,9 approx 0,07772 , K/W
Precisamos encontrar o novo espaçamento $ d’{ar} $ que faz com que o novo $ R{cond, ar} $ ajustado com:
d'ar
Isolando $ \frac{d’_{ar}}{1,17} $:
Rcond, ar
Rtotal, novo = 0,0111 + 0,001587 + d'ar0,26 times 4,5 + 0,04444 = 0,07772
Multiplicando ambos os lados por 1,17:
d'ar1,17

Resposta

Para reduzir a transferência de calor em 10%, o novo espaçamento entre as folhas de vidro deve ser de aproximadamente 2,4 cm.

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