2a QUESTÃO Adaptado do processo seletivo público para o INSTITUTO FEDERAL DE EDUCACAO, CIENCIA E TECNOLOGIA DE PERNAMBUCO. Eixo profissional: CONTROLE E PROCESSOS INDUSTRIAIS 2012
Água a 20^{\circ} \mathrm{C} entra numa tubulação com diâmetro de entrada de 0,3 \mathrm{~m} e com uma velocidade de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Na saída da tubulação, o diâmetro é reduzido para 0,1 \mathrm{~m} e a velocidade medida nessa seção é 0,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. De acordo com essas condições, julgue (CERTO ou ERRADO) os itens seguintes, justificando suas respostas: (Adote \pi=3; \rho =1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} )
( ) Existe provavelmente um vazamento, por onde passa cerca de 10 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de água.
( ) Não há vazamento algum e a conservação da massa ocorre ao longo das seções de entrada e saída.
( ) Existe um vazamento ao longo da tubulação, por onde escoa aproximadamente uma vazão volumétrica de 0,13 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}.
( ) Supondo que o diâmetro do vazamento seja de 0,1 \mathrm{~m}, então a velocidade de saída da água e de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
( ) Existe um vazamento, entretanto ele não influencia na conservação da massa ao longo das seções de entrada e saída.

Passo 1

O enunciado trata de um escoamento de água (densidade \rho=1000\;\mathrm{kg/m^3}) numa tubulação onde o diâmetro na entrada é D_1=0,3\;\mathrm{m} com velocidade v_1=2\;\mathrm{m/s} e na saída é D_2=0,1\;\mathrm{m} com velocidade medida v_2=0,5\;\mathrm{m/s}. Vamos usar o princípio da conservação de massa (continuidade) para calcular as vazões volumétricas e mássicas em cada seção e verificar se há vazamento e suas características.

Passo 2

Calcular a vazão volumétrica na entrada,
Q_1 = A_1\,v_1 \quad\text{com}\quad A_1 = \frac{\pi D_1^2}{4} = \frac{3\,(0,3)^2}{4} = 3\cdot\frac{0,09}{4} = 0,0675\;\mathrm{m^2},
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Q_1 = 0,0675\;\mathrm{m^2}\times2\;\mathrm{m/s} = 0,135\;\mathrm{m^3/s}.

Passo 3

Calcular a vazão volumétrica na saída,
Q_2 = A_2\,v_2 \quad\text{com}\quad A_2 = \frac{\pi D_2^2}{4} = \frac{3\,(0,1)^2}{4} = 3\cdot\frac{0,01}{4} = 0,0075\;\mathrm{m^2},
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Q_2 = 0,0075\;\mathrm{m^2}\times0,5\;\mathrm{m/s} = 0,00375\;\mathrm{m^3/s}.

Passo 4

A diferença Q_{\rm vaz} entre entrada e saída é a vazão do vazamento,
Q_{\rm vaz} = Q_1 - Q_2 = 0,135 - 0,00375 = 0,13125\;\mathrm{m^3/s}.
A vazão mássica do vazamento é
\dot m_{\rm vaz} = \rho\,Q_{\rm vaz} =1000\;\mathrm{kg/m^3}\times0,13125\;\mathrm{m^3/s} =131,25\;\mathrm{kg/s}.

Passo 5

Item 1: “Existe provavelmente um vazamento, por onde passa cerca de 10\;\mathrm{kg/s} de água.”
Como o cálculo deu \dot m_{\rm vaz}=131{,}25\;\mathrm{kg/s}, não 10\;\mathrm{kg/s}, este item é ERRADO.

Passo 6

Item 2: “Não há vazamento algum e a conservação da massa ocorre ao longo das seções de entrada e saída.”
Vimos que Q_1\neq Q_2, logo há vazamento. Este item é ERRADO.

Passo 7

Item 3: “Existe um vazamento ao longo da tubulação, por onde escoa aproximadamente uma vazão volumétrica de 0,13\;\mathrm{m^3/s}.”
Calculamos Q_{\rm vaz}\approx0,13125\;\mathrm{m^3/s}, que corresponde a 0,13\;\mathrm{m^3/s}. Este item é CERTO.

Passo 8

Item 4: “Supondo que o diâmetro do vazamento seja de 0,1\;\mathrm{m}, então a velocidade de saída da água é de 5\;\mathrm{m/s}.”
A área do vazamento seria A_{\rm vaz}=\tfrac{3\,(0,1)^2}{4}=0,0075\;\mathrm{m^2}. Portanto
v_{\rm vaz} = \frac{Q_{\rm vaz}}{A_{\rm vaz}} = \frac{0,13125}{0,0075}\approx17,5\;\mathrm{m/s},
não 5\;\mathrm{m/s}. Este item é ERRADO.

Passo 9

Item 5: “Existe um vazamento, entretanto ele não influencia na conservação da massa ao longo das seções de entrada e saída.”
Se há vazamento, a massa não se conserva apenas entre entrada e saída (parte sai pelo furo). Logo afirmação ERRADA.

Resposta

( ) Existe provavelmente um vazamento, por onde passa cerca de 10\;\mathrm{kg/s} de água. ERRADO
( ) Não há vazamento algum e a conservação da massa ocorre ao longo das seções de entrada e saída. ERRADO
( ) Existe um vazamento ao longo da tubulação, por onde escoa aproximadamente uma vazão volumétrica de 0,13\;\mathrm{m^3/s}. CERTO
( ) Supondo que o diâmetro do vazamento seja de 0,1\;\mathrm{m}, então a velocidade de saída da água e de 5\;\mathrm{m/s}. ERRADO
( ) Existe um vazamento, entretanto ele não influencia na conservação da massa ao longo das seções de entrada e saída. ERRADO

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