Quantas soluções possui a equação \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2015}, com x e y inteiros e positivos?
a) 6 .
b) 8 .
c) 12 .
d) 24 .
e) 27 .

Passo 1

Resumindo, queremos contar as soluções inteiras positivas de
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2015}.
O conteúdo é uma equação diofantina do tipo «soma de inversos» e vamos usar a técnica de transformar em fatoração para então contar divisores.

Passo 2

Começamos colocando tudo sobre o mesmo denominador:
\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{2015}
Multiplicando ambos os lados por 2015\,xy resulta em
2015\,(x+y)=xy
que equivale a
xy-2015\,x-2015\,y=0.

Passo 3

Para fatorar, somamos e subtraímos 2015^2:
xy-2015x-2015y+2015^2=2015^2
e obtém-se a forma fatorada
(x-2015)(y-2015)=2015^2.

Passo 4

Como x e y são positivos, nota-se que 1/x<1/2015 implica x>2015 e idem para y. Logo x-2015>0 e y-2015>0, e cada par de divisores positivos de 2015^2 gera um par ordenado (x,y). Assim, o número de soluções é igual ao número de divisores positivos de 2015^2.

Passo 5

Fatorando
2015=5\cdot13\cdot31,
temos
2015^2=5^2\cdot13^2\cdot31^2.
O total de divisores de 2015^2 é
(2+1)\,(2+1)\,(2+1)=3^3=27.

Resposta

e) 27

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