Quantas soluções possui a equação
, com
e
inteiros e positivos?
a) 6 .
b) 8 .
c) 12 .
d) 24 .
e) 27 .
a) 6 .
b) 8 .
c) 12 .
d) 24 .
e) 27 .
Passo 1
Resumindo, queremos contar as soluções inteiras positivas de
O conteúdo é uma equação diofantina do tipo «soma de inversos» e vamos usar a técnica de transformar em fatoração para então contar divisores.
Passo 2
Começamos colocando tudo sobre o mesmo denominador:
Multiplicando ambos os lados por
resulta em
que equivale a
Passo 3
Para fatorar, somamos e subtraímos
:
e obtém-se a forma fatorada
Passo 4
Como
e
são positivos, nota-se que
implica
e idem para
. Logo
e
, e cada par de divisores positivos de
gera um par ordenado
. Assim, o número de soluções é igual ao número de divisores positivos de
.
Passo 5
Fatorando
temos
O total de divisores de
é
Resposta
e)