2a Questão: O gás em uma câmera de nuvers está à temperatura de 292 K e experimenta uma expansão rápida. Supondo que o processo é adiabático, calcule a temperatura final se y=1,40 e a razão de expansão de volume é 1,28 (ou seja, V_{f} / V_{i}=1,28 )

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (peguei esses números do enunciado):
  • Temperatura inicial: T_{i}=292\\ \text{K}.
  • Constante adiabática: y=1{,}40.
  • Razão de volumes: \dfrac{V_{f}}{V_{i}}=1{,}28.
O que o problema pede:
  • Calcular a temperatura final T_{f} após a expansão adiabática rápida (assumindo processo adiabático reversível).

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (explicação passo a passo, bem didática).
  • Para um processo adiabático reversível de um gás ideal vale a lei adiabática
P V^{y}=\text{constante}.
Aqui P é a pressão, V o volume e y é a razão adiabática (também chamada de \gamma em alguns livros). Essa relação diz que, durante uma transformação adiabática reversível, o produto P V^{y} não muda.
  • Também temos a equação de estado do gás ideal:
P V = n R T,
onde n é o número de mols, R a constante universal dos gases e T a temperatura absoluta (em kelvin). Nesta equação P e V são pressão e volume no estado considerado.
  • Vamos combinar as duas relações para eliminar P e obter uma relação entre T e V. Substituindo P=\dfrac{nRT}{V} na lei adiabática:
\left(\dfrac{n R T}{V}\right) V^{y}=\text{constante}.
  • Isso simplifica para
n R\, T\, V^{y-1}=\text{constante}.
Como nR é constante para a amostra, podemos escrever de forma útil:
T\,V^{y-1}=\text{constante}.
  • Essa última fórmula é muito prática: durante uma adiabática reversível de gás ideal, o produto T V^{y-1} não muda. Assim, entre estados inicial e final:
T_{i}\,V_{i}^{\,y-1}=T_{f}\,V_{f}^{\,y-1}.
  • Isolando T_{f} obtemos a fórmula que vamos aplicar na conta:
T_{f}=T_{i}\left(\dfrac{V_{i}}{V_{f}}\right)^{y-1}.
Aqui está o que cada símbolo significa:
  • T_{i}: temperatura inicial (dada).
  • T_{f}: temperatura final (o que queremos).
  • V_{i}, V_{f}: volumes inicial e final.
  • y: razão adiabática ( =1{,}40 no enunciado).
  • y-1 é o expoente que usamos na relação entre temperaturas e volumes.

Passo 3

Substituir os dados conhecidos na fórmula.
  • Primeiro calculemos a razão inversa dos volumes \dfrac{V_{i}}{V_{f}}, porque o enunciado deu \dfrac{V_{f}}{V_{i}}=1{,}28:
\dfrac{V_{i}}{V_{f}}=\dfrac{1}{1{,}28}=0{,}78125.
Observação útil: 0{,}78125=\dfrac{25}{32} (às vezes escrever como fração ajuda em contas exatas).
  • O expoente é y-1:
y-1=1{,}40-1=0{,}40.
  • Agora escrevemos a expressão numérica:
T_{f}=292\left(0{,}78125\right)^{0{,}40}.

Passo 4

Calcular a potência \left(0{,}78125\right)^{0{,}40} de forma explicada (sem pular etapas).
  • Uma forma precisa é usar logaritmos. Escrevendo em termos do exponencial:
\left(0{,}78125\right)^{0{,}40}=e^{0{,}40\cdot\ln(0{,}78125)}.
  • Como 0{,}78125=\dfrac{25}{32}, podemos usar \ln de fatores:
\ln\!\left(\dfrac{25}{32}\right)=\ln(25)-\ln(32)=2\ln 5 - 5\ln 2.
Usando valores conhecidos (tabelados):
\ln 2 \approx 0{,}69314718056,\qquad \ln 5 \approx 1{,}60943791243.
  • Calculemos:
2\ln 5 \approx 3{,}21887582486, \qquad 5\ln 2 \approx 3{,}46573590280,
\ln\!\left(\dfrac{25}{32}\right)\approx 3{,}21887582486-3{,}46573590280=-0{,}24686007794.
  • Multiplicando por 0{,}40:
0{,}40\cdot\ln\!\left(\dfrac{25}{32}\right)\approx -0{,}09874403118.
  • Agora o exponencial:
e^{-0{,}09874403118}\approx 0{,}9060\\ \text{(aproximação por série ou tabela)}.çãé
  • Portanto
\left(0{,}78125\right)^{0{,}40}\approx 0{,}9060.

Passo 5

Calcular T_{f} e interpretar o resultado.
  • Multiplicando:
T_{f}=292\times 0{,}9060\approx 264{,}55\\ \text{K}.
  • Arredondando de forma razoável para três algarismos significativos:
T_{f}\approx 264{,}6\\ \text{K}.
Interpretação física rápida: como a expansão é adiabática (nenhum calor entra) e y>1, a temperatura do gás diminui — faz sentido: expansão rápida resfria o gás.

Resposta

T_{f}\approx 264{,}6\\ \text{K}

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