2a Questão: O gás em uma câmera de nuvers está à temperatura de 292 K e experimenta uma expansão rápida. Supondo que o processo é adiabático, calcule a temperatura final se
e a razão de expansão de volume é 1,28 (ou seja,
)
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (peguei esses números do enunciado):
- Temperatura inicial:
. - Constante adiabática:
. - Razão de volumes:
.
O que o problema pede:
- Calcular a temperatura final
após a expansão adiabática rápida (assumindo processo adiabático reversível).
Passo 2
Conceitos e fórmula que vamos usar (explicação passo a passo, bem didática).
- Para um processo adiabático reversível de um gás ideal vale a lei adiabática
Aqui
é a pressão,
o volume e
é a razão adiabática (também chamada de
em alguns livros). Essa relação diz que, durante uma transformação adiabática reversível, o produto
não muda.
- Também temos a equação de estado do gás ideal:
onde
é o número de mols,
a constante universal dos gases e
a temperatura absoluta (em kelvin). Nesta equação
e
são pressão e volume no estado considerado.
- Vamos combinar as duas relações para eliminar
e obter uma relação entre e . Substituindo na lei adiabática:
- Isso simplifica para
Como
é constante para a amostra, podemos escrever de forma útil:
- Essa última fórmula é muito prática: durante uma adiabática reversível de gás ideal, o produto
não muda. Assim, entre estados inicial e final:
- Isolando
obtemos a fórmula que vamos aplicar na conta:
Aqui está o que cada símbolo significa:
-
: temperatura inicial (dada). -
: temperatura final (o que queremos). -
, : volumes inicial e final. -
: razão adiabática ( no enunciado). -
é o expoente que usamos na relação entre temperaturas e volumes.
Passo 3
Substituir os dados conhecidos na fórmula.
- Primeiro calculemos a razão inversa dos volumes
, porque o enunciado deu :
Observação útil:
(às vezes escrever como fração ajuda em contas exatas).
- O expoente é
:
- Agora escrevemos a expressão numérica:
Passo 4
Calcular a potência
de forma explicada (sem pular etapas).
- Uma forma precisa é usar logaritmos. Escrevendo em termos do exponencial:
- Como
, podemos usar de fatores:
Usando valores conhecidos (tabelados):
- Calculemos:
- Multiplicando por
:
- Agora o exponencial:
- Portanto
Passo 5
Calcular
e interpretar o resultado.
- Multiplicando:
- Arredondando de forma razoável para três algarismos significativos:
Interpretação física rápida: como a expansão é adiabática (nenhum calor entra) e
, a temperatura do gás diminui — faz sentido: expansão rápida resfria o gás.