4a Questão: Um cubo de gelo de 12,6 \mathrm{~g} a -10 \circ \mathrm{C} é colocado em um lago cuja temperatura é de +15 \circ \mathrm{C}. Calcule a variação de entropia do sistema quando o cubɔ entra em equilíbrio térmico com o lago. Dica: a temperatura do lago não varia no processo. Dados: Calor específico do gelo a -10^{\circ} \mathrm{C} : c _{\text {gelo }}=2220 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \mathrm{K}). Calor específico da água: c_{\text {agua }}=4190 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \mathrm{K}). Calor de fusão (ou de transformação) da água: L_{\mathrm{f}}=333 \times 103 \mathrm{~J} / \mathrm{Kg} )

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a variação de entropia quando um cubo de gelo de 12,6\\ \mathrm{g} a -10^\circ\mathrm{C} é colocado num lago a +15^\circ\mathrm{C}, sabendo que a temperatura do lago não varia. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • massa do cubo: m=12,6\\ \mathrm{g}=0,0126\\ \mathrm{kg};
  • calor específico do gelo (a -10^\circ\mathrm{C}): c_{\text{gelo}}=2220\\ \mathrm{J/(kg\\ K)};
  • calor de fusão da água: L_{\mathrm{f}}=333\times10^{3}\\ \mathrm{J/kg};
  • calor específico da água líquida: c_{\text{agua}}=4190\\ \mathrm{J/(kg\\ K)};
  • temperatura do lago: T_{\text{lago}}=+15^\circ\mathrm{C}=288,15\\ \mathrm{K}.
O processo do cubo até o equilíbrio com o lago passa por três etapas, todas reversíveis idealizadas para cálculo de entropia:
  1. aquecimento do gelo de -10^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C};
  2. fusão (transformação) a 0^\circ\mathrm{C};
  3. aquecimento da água resultante de 0^\circ\mathrm{C} até +15^\circ\mathrm{C}.
Vou calcular a variação de entropia do cubo (sistema gelo→água), a variação de entropia do lago (reservatório) e a variação total (universo).

Passo 2

Lembrete rápido sobre entropia e fórmulas que vou usar (explicação didática):
  • Definição prática para processos reversíveis: a variação de entropia de um corpo que troca calor reversivelmente é
\Delta S=\int_{T_i}^{T_f}\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
  • Para aquecimento a pressão (ou volume) constante onde a capacidade térmica é aproximadamente independente de T, tem-se \delta Q_{\text{rev}}=m c\,dT, então
\Delta S = m c \int_{T_i}^{T_f}\frac{dT}{T}=m c\ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right),
onde T_i e T_f estão em kelvin e c é o calor específico (J/kg K).
  • Para uma transformação de fase a temperatura constante T_{\text{fus}}, a variação de entropia é
\Delta S=\frac{Q}{T_{\text{fus}}}=\frac{m L_{\mathrm{f}}}{T_{\text{fus}}}.
  • Para o lago, como sua temperatura não varia e ele recebe/perde calor Q_{\text{lago}}, sua variação de entropia é simplesmente \Delta S_{\text{lago}}=\dfrac{Q_{\text{lago}}}{T_{\text{lago}}}. Atenção ao sinal: se o lago perde calor, Q_{\text{lago}}<0.
Todas as temperaturas absolutas serão usadas em kelvin: -10^\circ\mathrm{C}=263,15\\ \mathrm{K}, 0^\circ\mathrm{C}=273,15\\ \mathrm{K}, +15^\circ\mathrm{C}=288,15\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Calcular as quantidades de calor trocadas em cada etapa (para depois obter entropias). Fórmulas e cálculos passo a passo:
  1. Aquecimento do gelo de -10^\circ\mathrm{C} a 0^\circ\mathrm{C}:
Q_1 = m\,c_{\text{gelo}}\,\Delta T = m\,c_{\text{gelo}}\,(273,15-263,15)=m\,c_{\text{gelo}}\cdot10\\ \mathrm{K}.
Substituindo: m=0,0126\\ \mathrm{kg}, c_{\text{gelo}}=2220\\ \mathrm{J/(kg\\ K)},
Q_1 = 0,0126\cdot2220\cdot10 = 279,72\\ \mathrm{J}.
  1. Fusão a 0^\circ\mathrm{C}:
Q_2 = m\,L_{\mathrm{f}} = 0,0126\cdot(333\times10^{3}) = 4195,8\\ \mathrm{J}.
  1. Aquecimento da água de 0^\circ\mathrm{C} a +15^\circ\mathrm{C}:
Q_3 = m\,c_{\text{agua}}\,(288,15-273,15)=m\,c_{\text{agua}}\cdot15\\ \mathrm{K}.
Substituindo c_{\text{agua}}=4190\\ \mathrm{J/(kg\\ K)},
Q_3 = 0,0126\cdot4190\cdot15 = 792,51\\ \mathrm{J}.
Energia total absorvida pelo cubo (vinda do lago):
Q_{\text{total}}=Q_1+Q_2+Q_3 = 279,72 + 4195,8 + 792,51 = 5268,03\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Calcular a variação de entropia do cubo (sistema que passa de gelo a -10^\circ\mathrm{C} até água a +15^\circ\mathrm{C}). Vou somar as três contribuições (cada etapa é tratada reversivelmente para efeito do cálculo de entropia):
  1. Entropia do aquecimento do gelo:
\Delta S_1 = m\,c_{\text{gelo}}\ln\!\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right) =0,0126\cdot2220\ln\!\left(\frac{273,15}{263,15}\right).
Calculemos o logaritmo:
\ln\!\left(\frac{273,15}{263,15}\right)\approx 0,037256.
Portanto
\Delta S_1 \approx 0,0126\cdot2220\cdot0,037256 \approx 1,041\\ \mathrm{J/K}.
  1. Entropia da fusão (transformação a 273,15\\ \mathrm{K}):
\Delta S_2 = \frac{m\,L_{\mathrm{f}}}{T_{\text{fus}}} = \frac{0,0126\cdot333\times10^{3}}{273,15} \approx 15,36\\ \mathrm{J/K}.
  1. Entropia do aquecimento da água líquida de 273,15\\ \mathrm{K} a 288,15\\ \mathrm{K}:
\Delta S_3 = m\,c_{\text{agua}}\ln\!\left(\frac{288,15}{273,15}\right) =0,0126\cdot4190\ln\!\left(\frac{288,15}{273,15}\right).
Calculemos o logaritmo:
\ln\!\left(\frac{288,15}{273,15}\right)\approx 0,05348.
Logo
\Delta S_3 \approx 0,0126\cdot4190\cdot0,05348 \approx 2,83\\ \mathrm{J/K}.
Somando as três contribuições para o cubo:
\Delta S_{\text{cubo}}=\Delta S_1+\Delta S_2+\Delta S_3 \approx 1,041 + 15,36 + 2,83 = 19,23\\ \mathrm{J/K}.

Passo 5

Calcular a variação de entropia do lago (reservatório a temperatura constante T_{\text{lago}}=288,15\\ \mathrm{K}). O lago cedeu calor Q_{\text{lago}}=-Q_{\text{total}} (negativo porque perdeu energia):
\Delta S_{\text{lago}} = \frac{Q_{\text{lago}}}{T_{\text{lago}}} = -\frac{Q_{\text{total}}}{T_{\text{lago}}} = -\frac{5268,03}{288,15}.
Fazendo a divisão:
\Delta S_{\text{lago}} \approx -18,28\\ \mathrm{J/K}.

Passo 6

Calcular a variação total de entropia (sistema isolado “cubo + lago” ou “universo” neste processo idealizado):
\Delta S_{\text{total}}=\Delta S_{\text{cubo}}+\Delta S_{\text{lago}} \approx 19,23 + (-18,28) = 0,95\\ \mathrm{J/K}.
Comentários didáticos rápidos: a entropia total aumentou (valor positivo), conforme exige a Segunda Lei. O pequeno aumento é compatível com o processo irreversível real (troca de calor entre corpos a temperaturas diferentes), apesar de termos calculado as variações de entropia das partes supondo integrais reversíveis para cada etapa do corpo. A contribuição dominante para a entropia do cubo vem da fusão (etapa que envolve grande troca de calor a temperatura relativamente baixa).

Resposta

\Delta S_{\text{cubo}}\approx19,23\\ \mathrm{J/K}
\Delta S_{\text{lago}}\approx-18,28\\ \mathrm{J/K}
\Delta S_{\text{total}}\approx0,95\\ \mathrm{J/K}

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