[2C-2015-2] Um objeto é lançado do solo verticalmente para cima com velocidade de módulo
, e atinge a altura máxima
. Qual a fração de energia inicial dissipada devido a atritos?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
- Informações dadas:
- Um objeto é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial de módulo
. - A altura máxima atingida é
. - Há atritos (ou forças dissipativas) durante o movimento, então nem toda a energia inicial vira energia potencial no topo.
- Um objeto é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial de módulo
- O que é pedido:
- Qual a fração da energia inicial que foi dissipada devido aos atritos?
Passo 2
Vamos identificar as quantidades de energia envolvidas e as fórmulas que usaremos. Expliquei tudo devagarinho, sem pular etapas:
- Massa do objeto: vou chamar de
. O enunciado não dá , mas a resposta será independente de , então podemos trabalhar com uma massa genérica. - Energia cinética inicial (no momento do lançamento), fórmula e significado:
onde é a massa e é a velocidade inicial. Essa é a energia associada ao movimento. - Energia potencial gravitacional no ponto mais alto (velocidade zero) é
onde é a aceleração da gravidade (por exemplo ) e é a altura máxima atingida. Essa é a energia associada à posição na gravidade. - Energia dissipada pelos atritos é a diferença entre energia inicial e energia final:
Passo 3
Calcule a energia inicial explicitamente usando a fórmula da energia cinética:
Aqui não há segredo: é a expressão padrão da energia cinética de uma massa
com velocidade
.
Passo 4
Calcule a energia final no topo substituindo a altura dada
na expressão da energia potencial:
Agora simplificamos
no numerador e denominador:
Passo 5
Calcule a energia dissipada, que é a diferença entre inicial e final:
Faço a subtração dos coeficientes:
Passo 6
Agora a fração da energia inicial que foi dissipada é a razão
. Substituo as expressões encontradas e simplifico:
Corta-se
e
, sobram apenas os coeficientes:
Passo 7
Interpretação final e intuição rápida (sem cálculo extra): se não houvesse atrito, a altura máxima seria
. Aqui a altura real é metade disso (
), portanto só metade da energia inicial foi convertida em energia potencial; a outra metade foi perdida por atritos. Isso confirma o resultado anterior.