[2C-2015-2] Um objeto é lançado do solo verticalmente para cima com velocidade de módulo v_{0}, e atinge a altura máxima h=\frac{v_{0}^{2}}{4 g}. Qual a fração de energia inicial dissipada devido a atritos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Informações dadas:
    • Um objeto é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial de módulo \,v_{0}\,.
    • A altura máxima atingida é \displaystyle h=\frac{v_{0}^{2}}{4g}.
    • Há atritos (ou forças dissipativas) durante o movimento, então nem toda a energia inicial vira energia potencial no topo.
  • O que é pedido:
    • Qual a fração da energia inicial que foi dissipada devido aos atritos?

Passo 2

Vamos identificar as quantidades de energia envolvidas e as fórmulas que usaremos. Expliquei tudo devagarinho, sem pular etapas:
  • Massa do objeto: vou chamar de \,m. O enunciado não dá \,m, mas a resposta será independente de \,m, então podemos trabalhar com uma massa genérica.
  • Energia cinética inicial (no momento do lançamento), fórmula e significado: E_{\text{inicial}} = \frac{1}{2}\,m\,v_{0}^{2},onde \,m é a massa e \,v_{0} é a velocidade inicial. Essa é a energia associada ao movimento.
  • Energia potencial gravitacional no ponto mais alto (velocidade zero) é E_{\text{final}} = m g h,onde g é a aceleração da gravidade (por exemplo 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}) e h é a altura máxima atingida. Essa é a energia associada à posição na gravidade.
  • Energia dissipada pelos atritos é a diferença entre energia inicial e energia final: E_{\text{dissipada}} = E_{\text{inicial}} - E_{\text{final}}.

Passo 3

Calcule a energia inicial explicitamente usando a fórmula da energia cinética:
E_{\text{inicial}} = \frac{1}{2}\,m\,v_{0}^{2}.
Aqui não há segredo: é a expressão padrão da energia cinética de uma massa m com velocidade v_{0}.

Passo 4

Calcule a energia final no topo substituindo a altura dada \displaystyle h=\frac{v_{0}^{2}}{4g} na expressão da energia potencial:
E_{\text{final}} = m g h = m g \left(\frac{v_{0}^{2}}{4g}\right).
Agora simplificamos g no numerador e denominador:
E_{\text{final}} = \frac{1}{4}\,m\,v_{0}^{2}.

Passo 5

Calcule a energia dissipada, que é a diferença entre inicial e final:
E_{\text{dissipada}} = E_{\text{inicial}} - E_{\text{final}} = \frac{1}{2}\,m\,v_{0}^{2} - \frac{1}{4}\,m\,v_{0}^{2}.
Faço a subtração dos coeficientes:
E_{\text{dissipada}} = \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right) m v_{0}^{2} = \frac{1}{4}\,m\,v_{0}^{2}.

Passo 6

Agora a fração da energia inicial que foi dissipada é a razão E_{\text{dissipada}}/E_{\text{inicial}}. Substituo as expressões encontradas e simplifico:
\frac{E_{\text{dissipada}}}{E_{\text{inicial}}} = \frac{\frac{1}{4}\,m\,v_{0}^{2}}{\frac{1}{2}\,m\,v_{0}^{2}}.
Corta-se m e v_{0}^{2}, sobram apenas os coeficientes:
\frac{E_{\text{dissipada}}}{E_{\text{inicial}}} = \frac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{1}{2}} = \frac{1}{2}.

Passo 7

Interpretação final e intuição rápida (sem cálculo extra): se não houvesse atrito, a altura máxima seria \displaystyle h_{\text{ideal}}=\frac{v_{0}^{2}}{2g}. Aqui a altura real é metade disso ( \frac{v_{0}^{2}}{4g}), portanto só metade da energia inicial foi convertida em energia potencial; a outra metade foi perdida por atritos. Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

\tfrac{1}{2}

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