onde \mathrm{b}_{1} e \mathrm{b}_{2} são constantes; x é dado em m e t em s.
a) Obtenha uma expressão para a velocidade da partícula;
b) Obtenha uma expressão para a aceleração da partícula;
Nas perguntas seguintes considere b_{1}=3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3} e b_{2}=0,7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{4}.
c) Em que instante a partícula alcança o ponto no qual o valor de x é máximo?
d) Qual a velocidade da partícula para t=3 s ? E para t=4 s ?
e) Qual a distância total percorrida pela partícula nos nos 4 s iniciais?
f) Qual a aceleração da partícula para \mathrm{t}=1 \mathrm{~s} ?
g) Qual a velocidade média para o intervalo de tempo entre t=1 e t=3 s ?
h) Qual a aceleração média da partícula entre os instantes de tempo t=2 s e t=5 s ?
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula ao longo do eixo Ox:
onde \mathrm{b}_{1} e \mathrm{b}_{2} são constantes; \mathrm{x} vem em metros (m) e \mathrm{t} em segundos (s).
Perguntas a responder:
a) Obter uma expressão para a velocidade da partícula.
b) Obter uma expressão para a aceleração da partícula.
Nas perguntas seguintes usar b_{1}=3\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{3} e b_{2}=0{,}7\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{4}.
c) Em que instante a partícula alcança o ponto de x máximo?
d) Qual a velocidade da partícula para t=3\\ \mathrm{s} e para t=4\\ \mathrm{s}?
e) Qual a distância total percorrida pela partícula nos 4 s iniciais?
f) Qual a aceleração da partícula para t=1\\ \mathrm{s}?
g) Qual a velocidade média para o intervalo entre t=1 e t=3\\ \mathrm{s}?
h) Qual a aceleração média entre t=2\\ \mathrm{s} e t=5\\ \mathrm{s}?
Dado que o enunciado fornece a expressão de x(t) e valores numéricos para b_1,b_2 nas partes c–h, vou primeiro obter as fórmulas gerais (a e b) e depois substituir os valores.
Passo 2
Encontrar a velocidade significa calcular a derivada da posição em relação ao tempo: a velocidade instantânea é definida por v(t)=\dfrac{dx}{dt}.
Regra que vamos usar (regra do poder / power rule): se f(t)=C\,t^{n} com C constante e n real, então
\frac{d}{dt}\big(C\,t^{n}\big)=C\cdot n\,t^{n-1}.
Isto significa que trazemos o expoente para multiplicar e diminuímos o expoente em 1.
Aplicando isso a \mathrm{x}=\mathrm{b}_{1}\mathrm{t}^{3}-\mathrm{b}_{2}\mathrm{t}^{4}, derivamos termo a termo:
Agora substituímos os valores numéricos \mathrm{b}_{1}=3\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{3} e \mathrm{b}_{2}=0{,}7\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{4} nas fórmulas de v(t) e a(t).
Substituindo em v(t)=3\mathrm{b}_{1}\mathrm{t}^{2}-4\mathrm{b}_{2}\mathrm{t}^{3}:
(c) Para achar o instante em que x é máximo precisamos encontrar onde a velocidade se anula (pontos críticos) e verificar que ali a aceleração é negativa (indicando máximo).
Igualamos v(t)=0:
9t^{2}-2{,}8t^{3}=0.
Fatorando t^{2}:
t^{2}(9-2{,}8t)=0.
Isso dá as raízes t=0 e 9-2{,}8t=0\Rightarrow t=\dfrac{9}{2{,}8}.
Calculemos \dfrac{9}{2{,}8}. Multiplicando numerador e denominador por 10 para evitar vírgula:
Sem precisar avaliar com muita precisão, notamos que o resultado é negativo (pode-se calcular numericamente e obter aproximadamente -28{,}94\\ \mathrm{m/s^{2}}), então esse ponto é um máximo de x. Portanto o instante do máximo é
t=\frac{45}{14}\approx 3{,}214\\ \mathrm{s}.
Passo 6
(d) Calcular v(3) e v(4) usando v(t)=9t^{2}-2{,}8t^{3}.
Explicação do método: distância total não é simplesmente |x(4)-x(0)| se a partícula muda de sentido. Então encontramos os instantes em [0,4] onde v(t)=0. Já achámos as raízes t=0 e t=\dfrac{45}{14}\approx 3{,}214\\ \mathrm{s}. Entre 0 e 3{,}214 a velocidade é positiva (movimento para frente) e entre 3{,}214 e 4 é negativa (volta).
(h) Aceleração média entre t=2\\ \mathrm{s} e t=5\\ \mathrm{s}. Definição: aceleração média é a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo:
a) v(t)=3\mathrm{b}_{1}t^{2}-4\mathrm{b}_{2}t^{3}.
b) a(t)=6\mathrm{b}_{1}t-12\mathrm{b}_{2}t^{2}.
c) t=\dfrac{45}{14}\approx 3{,}214\\ \mathrm{s}.
d) v(3)=5{,}4\\ \mathrm{m/s}. v(4)=-35{,}2\\ \mathrm{m/s}.
e) distância total \approx 37{,}01\\ \mathrm{m}.
f) a(1)=9{,}6\\ \mathrm{m/s^{2}}.
g) velocidade média \bar{v}=11{,}0\\ \mathrm{m/s}.
h) aceleração média \bar{a}=-46{,}2\\ \mathrm{m/s^{2}}.