A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo Ox é dada por:
\mathrm{x}=\mathrm{b}_{1} \mathrm{t}^{3}-\mathrm{b}_{2} \mathrm{t}^{4}
onde \mathrm{b}_{1} e \mathrm{b}_{2} são constantes; x é dado em m e t em s.
a) Obtenha uma expressão para a velocidade da partícula;
b) Obtenha uma expressão para a aceleração da partícula;
Nas perguntas seguintes considere b_{1}=3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{3} e b_{2}=0,7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{4}.
c) Em que instante a partícula alcança o ponto no qual o valor de x é máximo?
d) Qual a velocidade da partícula para t=3 s ? E para t=4 s ?
e) Qual a distância total percorrida pela partícula nos nos 4 s iniciais?
f) Qual a aceleração da partícula para \mathrm{t}=1 \mathrm{~s} ?
g) Qual a velocidade média para o intervalo de tempo entre t=1 e t=3 s ?
h) Qual a aceleração média da partícula entre os instantes de tempo t=2 s e t=5 s ?

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula ao longo do eixo Ox:
\mathrm{x}=\mathrm{b}_{1}\mathrm{t}^{3}-\mathrm{b}_{2}\mathrm{t}^{4},
onde \mathrm{b}_{1} e \mathrm{b}_{2} são constantes; \mathrm{x} vem em metros (m) e \mathrm{t} em segundos (s).
Perguntas a responder:
a) Obter uma expressão para a velocidade da partícula.
b) Obter uma expressão para a aceleração da partícula.
Nas perguntas seguintes usar b_{1}=3\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{3} e b_{2}=0{,}7\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{4}.
c) Em que instante a partícula alcança o ponto de x máximo?
d) Qual a velocidade da partícula para t=3\\ \mathrm{s} e para t=4\\ \mathrm{s}?
e) Qual a distância total percorrida pela partícula nos 4 s iniciais?
f) Qual a aceleração da partícula para t=1\\ \mathrm{s}?
g) Qual a velocidade média para o intervalo entre t=1 e t=3\\ \mathrm{s}?
h) Qual a aceleração média entre t=2\\ \mathrm{s} e t=5\\ \mathrm{s}?
Dado que o enunciado fornece a expressão de x(t) e valores numéricos para b_1,b_2 nas partes c–h, vou primeiro obter as fórmulas gerais (a e b) e depois substituir os valores.

Passo 2

Encontrar a velocidade significa calcular a derivada da posição em relação ao tempo: a velocidade instantânea é definida por v(t)=\dfrac{dx}{dt}.
Regra que vamos usar (regra do poder / power rule): se f(t)=C\,t^{n} com C constante e n real, então
\frac{d}{dt}\big(C\,t^{n}\big)=C\cdot n\,t^{n-1}.
Isto significa que trazemos o expoente para multiplicar e diminuímos o expoente em 1.
Aplicando isso a \mathrm{x}=\mathrm{b}_{1}\mathrm{t}^{3}-\mathrm{b}_{2}\mathrm{t}^{4}, derivamos termo a termo:
v(t)=\frac{d\mathrm{x}}{dt}=\frac{d}{dt}\big(\mathrm{b}_{1}\mathrm{t}^{3}\big)-\frac{d}{dt}\big(\mathrm{b}_{2}\mathrm{t}^{4}\big).
Usando a regra do poder:
\frac{d}{dt}\big(\mathrm{b}_{1}\mathrm{t}^{3}\big)=\mathrm{b}_{1}\cdot 3\mathrm{t}^{2}=3\mathrm{b}_{1}\mathrm{t}^{2},
\frac{d}{dt}\big(\mathrm{b}_{2}\mathrm{t}^{4}\big)=\mathrm{b}_{2}\cdot 4\mathrm{t}^{3}=4\mathrm{b}_{2}\mathrm{t}^{3}.
Portanto:
v(t)=3\mathrm{b}_{1}\mathrm{t}^{2}-4\mathrm{b}_{2}\mathrm{t}^{3}.

Passo 3

A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo: a(t)=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}.
Aplicando a mesma regra do poder a v(t)=3\mathrm{b}_{1}\mathrm{t}^{2}-4\mathrm{b}_{2}\mathrm{t}^{3}:
\frac{d}{dt}\big(3\mathrm{b}_{1}\mathrm{t}^{2}\big)=3\mathrm{b}_{1}\cdot 2\mathrm{t}=6\mathrm{b}_{1}\mathrm{t},
\frac{d}{dt}\big(4\mathrm{b}_{2}\mathrm{t}^{3}\big)=4\mathrm{b}_{2}\cdot 3\mathrm{t}^{2}=12\mathrm{b}_{2}\mathrm{t}^{2}.
Portanto:
a(t)=6\mathrm{b}_{1}\mathrm{t}-12\mathrm{b}_{2}\mathrm{t}^{2}.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos \mathrm{b}_{1}=3\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{3} e \mathrm{b}_{2}=0{,}7\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{4} nas fórmulas de v(t) e a(t).
Substituindo em v(t)=3\mathrm{b}_{1}\mathrm{t}^{2}-4\mathrm{b}_{2}\mathrm{t}^{3}:
v(t)=3\cdot 3\,t^{2}-4\cdot 0{,}7\,t^{3}=9t^{2}-2{,}8t^{3}\quad(\mathrm{m/s}).
Substituindo em a(t)=6\mathrm{b}_{1}\mathrm{t}-12\mathrm{b}_{2}\mathrm{t}^{2}:
a(t)=6\cdot 3\,t-12\cdot 0{,}7\,t^{2}=18t-8{,}4t^{2}\quad(\mathrm{m/s^{2}}).

Passo 5

(c) Para achar o instante em que x é máximo precisamos encontrar onde a velocidade se anula (pontos críticos) e verificar que ali a aceleração é negativa (indicando máximo).
Igualamos v(t)=0:
9t^{2}-2{,}8t^{3}=0.
Fatorando t^{2}:
t^{2}(9-2{,}8t)=0.
Isso dá as raízes t=0 e 9-2{,}8t=0\Rightarrow t=\dfrac{9}{2{,}8}.
Calculemos \dfrac{9}{2{,}8}. Multiplicando numerador e denominador por 10 para evitar vírgula:
t=\frac{90}{28}=\frac{45}{14}\approx 3{,}2142857\\ \mathrm{s}.
Agora verificamos se é máximo: avaliamos a(t) em t=\dfrac{45}{14}.
Usando a(t)=18t-8{,}4t^{2}:
a\!\left(\frac{45}{14}\right)=18\cdot\frac{45}{14}-8{,}4\cdot\left(\frac{45}{14}\right)^{2}.
Sem precisar avaliar com muita precisão, notamos que o resultado é negativo (pode-se calcular numericamente e obter aproximadamente -28{,}94\\ \mathrm{m/s^{2}}), então esse ponto é um máximo de x. Portanto o instante do máximo é
t=\frac{45}{14}\approx 3{,}214\\ \mathrm{s}.

Passo 6

(d) Calcular v(3) e v(4) usando v(t)=9t^{2}-2{,}8t^{3}.
Para t=3:
v(3)=9\cdot 3^{2}-2{,}8\cdot 3^{3}=9\cdot 9-2{,}8\cdot 27=81-75{,}6=5{,}4\\ \mathrm{m/s}.
Para t=4:
v(4)=9\cdot 4^{2}-2{,}8\cdot 4^{3}=9\cdot 16-2{,}8\cdot 64=144-179{,}2=-35{,}2\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

(e) Distância total nos primeiros 4 s.
Explicação do método: distância total não é simplesmente |x(4)-x(0)| se a partícula muda de sentido. Então encontramos os instantes em [0,4] onde v(t)=0. Já achámos as raízes t=0 e t=\dfrac{45}{14}\approx 3{,}214\\ \mathrm{s}. Entre 0 e 3{,}214 a velocidade é positiva (movimento para frente) e entre 3{,}214 e 4 é negativa (volta).
Logo a distância total é:
\text{distância total}= \big|x(t_{\max})-x(0)\big| + \big|x(4)-x(t_{\max})\big|.â
Calculamos x(t)=3t^{3}-0{,}7t^{4} (substituindo b_1,b_2).
Primeiro, x(0)=0.
Em t_{\max}=\dfrac{45}{14} podemos usar um truque: em pontos onde v=0 temos 9-2{,}8t=0\Rightarrow 2{,}8t=9\Rightarrow 0{,}7t=2{,}25. Então
x\big(t_{\max}\big)=3t_{\max}^{3}-0{,}7t_{\max}^{4}=t_{\max}^{3}\big(3-0{,}7t_{\max}\big)=t_{\max}^{3}(3-2{,}25)=t_{\max}^{3}\cdot 0{,}75.
Com t_{\max}=\dfrac{45}{14} temos
t_{\max}^{3}=\frac{45^{3}}{14^{3}}=\frac{91125}{2744}\approx 33{,}20877,
logo
x\big(t_{\max}\big)\approx 0{,}75\cdot 33{,}20877\approx 24{,}9066\\ \mathrm{m}.
Agora x(4)=3\cdot 4^{3}-0{,}7\cdot 4^{4}=3\cdot 64-0{,}7\cdot 256=192-179{,}2=12{,}8\\ \mathrm{m}.
Portanto a distância total:
\text{distância total}=24{,}9066-0 + |12{,}8-24{,}9066|=24{,}9066+12{,}1066\approx 37{,}0132\\ \mathrm{m}.â
Arredondando razoavelmente, \approx 37{,}01\\ \mathrm{m}.

Passo 8

(f) Aceleração em t=1\\ \mathrm{s}. Usando a(t)=18t-8{,}4t^{2}:
a(1)=18\cdot 1-8{,}4\cdot 1^{2}=18-8{,}4=9{,}6\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 9

(g) Velocidade média no intervalo entre t=1 e t=3. Definição: velocidade média é a variação da posição dividida pelo intervalo de tempo:
\bar{v}=\frac{x(3)-x(1)}{3-1}.
Calculamos x(3)=3\cdot 3^{3}-0{,}7\cdot 3^{4}=3\cdot 27-0{,}7\cdot 81=81-56{,}7=24{,}3\\ \mathrm{m}.
Calculamos x(1)=3\cdot 1^{3}-0{,}7\cdot 1^{4}=3-0{,}7=2{,}3\\ \mathrm{m}.
Logo
\bar{v}=\frac{24{,}3-2{,}3}{2}=\frac{22{,}0}{2}=11{,}0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 10

(h) Aceleração média entre t=2\\ \mathrm{s} e t=5\\ \mathrm{s}. Definição: aceleração média é a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo:
\bar{a}=\frac{v(5)-v(2)}{5-2}.
Usando v(t)=9t^{2}-2{,}8t^{3}:
Calcule v(5)=9\cdot 5^{2}-2{,}8\cdot 5^{3}=9\cdot 25-2{,}8\cdot 125=225-350=-125\\ \mathrm{m/s}.
Calcule v(2)=9\cdot 2^{2}-2{,}8\cdot 2^{3}=9\cdot 4-2{,}8\cdot 8=36-22{,}4=13{,}6\\ \mathrm{m/s}.
Portanto
\bar{a}=\frac{-125-13{,}6}{3}=\frac{-138{,}6}{3}=-46{,}2\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

a) v(t)=3\mathrm{b}_{1}t^{2}-4\mathrm{b}_{2}t^{3}.
b) a(t)=6\mathrm{b}_{1}t-12\mathrm{b}_{2}t^{2}.
c) t=\dfrac{45}{14}\approx 3{,}214\\ \mathrm{s}.
d) v(3)=5{,}4\\ \mathrm{m/s}.
v(4)=-35{,}2\\ \mathrm{m/s}.
e) distância total \approx 37{,}01\\ \mathrm{m}.
f) a(1)=9{,}6\\ \mathrm{m/s^{2}}.
g) velocidade média \bar{v}=11{,}0\\ \mathrm{m/s}.
h) aceleração média \bar{a}=-46{,}2\\ \mathrm{m/s^{2}}.

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