(2C 2015.1) Uma partícula move-se na direção OX segundo a lei horária,
onde
e
são constantes positivas em unidades de
e
, respectivamente. A aceleração média entre os instantes
e
s é igual a
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá a lei horária da posição:
com
e
constantes positivas (unidades
e
), e pede a aceleração média entre os instantes
e
. São fornecidas as alternativas:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 2
Definição e estratégia: a aceleração média
num intervalo de tempo é a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo. Em fórmula:
Para usar essa fórmula precisamos da velocidade
, que é a derivada da posição
em relação ao tempo. Vou agora lembrar rapidamente como derivar um polinômio: a regra do poder (power rule) diz que a derivada de
é
. Aplicamos isso termo a termo.
Passo 3
Calcular a velocidade
. Aplicando a regra do poder aos termos de
:
Expliquei: para
a derivada é
e para
a derivada é
.
Passo 4
Avaliar a velocidade nos instantes pedidos. Primeiro em
:
Agora em
:
Mostrei o cálculo passo a passo: multipliquei e simplifiquei
e
.
Passo 5
Calcular a variação da velocidade
e o intervalo de tempo
:
E
Passo 6
Aplicar a fórmula da aceleração média:
Interpretação rápida: unidades batem (cada termo tem unidade de
). Como checagem alternativa — só para entender — a aceleração instantânea é
, que é linear em
. A média de uma função linear entre
e
é a média dos valores nas extremidades; isso daria o mesmo resultado:
.
Resposta
(a)