(2C 2015.1) Uma partícula move-se na direção OX segundo a lei horária, x(t)=\alpha t^{2}-\beta t^{3} onde \alpha e \beta são constantes positivas em unidades de \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} e \mathrm{m} / \mathrm{s}^{3}, respectivamente. A aceleração média entre os instantes t=2 \mathrm{~s} e t=4 s é igual a
(a) 2 \alpha-18 \beta
(b) 2 \alpha-8 \beta
(c) 4 \alpha-12 \beta
(d) 2 \alpha-12 \beta
(e) 4 \alpha-36 \beta

Passo 1

O enunciado dá a lei horária da posição:
x(t)=\alpha t^{2}-\beta t^{3}
com \alpha e \beta constantes positivas (unidades \mathrm{m/s^{2}} e \mathrm{m/s^{3}}), e pede a aceleração média entre os instantes t=2\\ \mathrm{s} e t=4\\ \mathrm{s}. São fornecidas as alternativas:
(a) 2\alpha-18\beta
(b) 2\alpha-8\beta
(c) 4\alpha-12\beta
(d) 2\alpha-12\beta
(e) 4\alpha-36\beta

Passo 2

Definição e estratégia: a aceleração média \bar a num intervalo de tempo é a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo. Em fórmula:
\bar a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v(t_2)-v(t_1)}{t_2-t_1}.
Para usar essa fórmula precisamos da velocidade v(t), que é a derivada da posição x(t) em relação ao tempo. Vou agora lembrar rapidamente como derivar um polinômio: a regra do poder (power rule) diz que a derivada de t^n é n t^{n-1}. Aplicamos isso termo a termo.

Passo 3

Calcular a velocidade v(t)=\dfrac{dx}{dt}. Aplicando a regra do poder aos termos de x(t):
v(t)=\frac{d}{dt}\big(\alpha t^{2}-\beta t^{3}\big)=2\alpha t-3\beta t^{2}.
Expliquei: para \alpha t^{2} a derivada é 2\alpha t e para -\beta t^{3} a derivada é -3\beta t^{2}.

Passo 4

Avaliar a velocidade nos instantes pedidos. Primeiro em t=4\\ \mathrm{s}:
v(4)=2\alpha\cdot 4-3\beta\cdot 4^{2}=8\alpha-3\beta\cdot 16=8\alpha-48\beta.
Agora em t=2\\ \mathrm{s}:
v(2)=2\alpha\cdot 2-3\beta\cdot 2^{2}=4\alpha-3\beta\cdot 4=4\alpha-12\beta.
Mostrei o cálculo passo a passo: multipliquei e simplifiquei 4^{2}=16 e 2^{2}=4.

Passo 5

Calcular a variação da velocidade \Delta v e o intervalo de tempo \Delta t:
\Delta v=v(4)-v(2)=(8\alpha-48\beta)-(4\alpha-12\beta)=4\alpha-36\beta.
E
\Delta t=4-2=2\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Aplicar a fórmula da aceleração média:
\bar a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{4\alpha-36\beta}{2}=2\alpha-18\beta.
Interpretação rápida: unidades batem (cada termo tem unidade de \mathrm{m/s^{2}}). Como checagem alternativa — só para entender — a aceleração instantânea é a(t)=\dfrac{dv}{dt}=2\alpha-6\beta t, que é linear em t. A média de uma função linear entre 2 e 4 é a média dos valores nas extremidades; isso daria o mesmo resultado: \big(a(2)+a(4)\big)/2=(2\alpha-12\beta+2\alpha-24\beta)/2=2\alpha-18\beta.

Resposta

(a) 2\alpha-18\beta

Exercícios relacionados