(PF-2013-2) Uma partícula de massa m pendurada por um fio ideal de comprimento \ell, cuja extremidade é presa ao teto, é abandonada em repouso com o fio esticado fazendo um ângulo \theta_{0} com a vertical ( 0<\theta_{0}<\pi / 2 ). Sejam, \vec{T} a força do fio sobre a partícula, \vec{P} o seu peso e \vec{v} a sua velocidade, todos os três vetores no instante em que a partícula passa pelo ponto mais baixo de sua trajetória. A a opção correta é:
(a) T-P=m v^{2} / \ell
(b) T=m v^{2} / \ell
(c) T+P=m v^{2} / \ell
(d) \vec{T}+\vec{P}=\overrightarrow{0}
(e) \vec{T}=\vec{P}.

Passo 1

O enunciado trata de uma massa m presa a um fio ideal de comprimento \ell, solta a partir do repouso em um ângulo \theta_{0} e passando pelo ponto mais baixo da trajetória com velocidade v. O objetivo é relacionar a tensão \vec{T}, o peso \vec{P} e a velocidade v nesse instante, usando conservação de energia e a segunda lei de Newton para movimento circular.

Passo 2

Usamos conservação de energia entre a posição inicial (ângulo \theta_{0}) e o ponto mais baixo. A diferença de altura é \Delta h=\ell(1-\cos\theta_{0}), então
m g \ell\bigl(1-\cos\theta_{0}\bigr) =\tfrac12\,m v^{2}.
Isolando v^{2},
v^{2}=2g\ell\bigl(1-\cos\theta_{0}\bigr).

Passo 3

No ponto mais baixo a partícula descreve movimento circular de raio \ell. A aceleração centrípeta vale a_{c}=v^{2}/\ell dirigida para cima (no sentido do fio). Aplicando a segunda lei de Newton na direção radial (positiva para cima),
\sum F_{r}=T - mg = m\,a_{c} = m\,\frac{v^{2}}{\ell}.

Passo 4

A relação obtida
T - mg = m\,\frac{v^{2}}{\ell}
corresponde exatamente à alternativa (a).

Resposta

(a) T - P = m v^{2}/\ell

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