2da Questão (Valor 8 pontos)
Um gerador composto por um motor diesel monocilíndrico de massa
está montado sobre isoladores com uma rigidez equivalente
. O pistão e a parte da biela equivalente têm massa de 20 kg e movem-se de forma harmônica na máquina no sentido vertical com curso de 40 cm a 600 rpm . O curso é definido como: curso
. A partir de um teste experimental constatou-se que a amplitude de vibração em regime permanente do motor, Xp é de 12 mm .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e qual é a pergunta implícita que vamos resolver (o enunciado não escreveu explicitamente o que quer, então vou assumir a pergunta mais comum para este tipo de problema).
Dados fornecidos:
- massa do conjunto motor+gerador:
; - rigidez equivalente dos isoladores:
(peguei a unidade do enunciado); - massa equivalente do pistão+biela:
; - curso do pistão:
, portanto ; - rotação:
(ou seja ); - amplitude medida em regime permanente do motor:
.
Pergunta assumida (implícita): determinar o amortecimento equivalente dos isoladores (coeficiente de amortecimento
e/ou razão de amortecimento
) que explique a amplitude medida
.
Observação: se a pergunta real for outra (por exemplo força transmitida, transmissibilidade, etc.), o procedimento será semelhante. Vou resolver a partir desta suposição e mostrar todo o raciocínio físico-matemático.
Passo 2
Modelagem física e fórmulas úteis — explicando devagar como funciona a coisa toda.
Modelo físico: o sistema é um grau de liberdade com massa
apoiada em mola de rigidez
e amortecedor viscoso
. A excitação harmônica vem da massa reciprocante
que gera uma força dinâmica no motor devido à sua aceleração harmônica. Esse esforço harmônico é tratado como uma força aplicada
sobre a massa
.
Fórmulas e definições (vou explicar cada símbolo):
- velocidade angular de excitação:
- frequência natural (quadrado) do sistema massa-mola:
Aqui
é a frequência natural (rad/s) do conjunto montado sobre os isoladores.
- razão de frequência adimensional:
- razão de amortecimento (adimensional):
onde
é o coeficiente viscoso total equivalente dos isoladores.
- Força harmônica gerada pela massa reciprocante: se a massa
descreve movimento harmônico com amplitude , a aceleração máxima é , logo a amplitude da força inercial é
Explicação: a massa reciprocante tende a acelerar e desacelerar; pela Terceira Lei de Newton essa inércia é transmitida ao motor como uma força periódica com amplitude
.
- Amplitude da resposta em regime permanente (para força harmônica aplicada) — fórmula padrão (explicada): a amplitude estática equivalente é
e a amplificação dinâmica depende de e . A amplitude da oscilação da massa é
Explicação rápida: o denominador é a função de amplificação dinâmica; quando
está longe de
a resposta é pequena, quando
se
for pequeno a resposta pode aumentar muito.
Nosso objetivo é usar essa equação com
(a amplitude medida) para encontrar
(e então
). Mas antes vamos calcular os termos numéricos para ver se a equação tem solução real.
Passo 3
Calcular as quantidades numéricas básicas (passo a passo e devagarinho).
- Primeiro a velocidade angular de excitação:
- Frequência natural do sistema:
- Razão de frequência:
Portanto
(excitação acima da frequência natural).
- Força dinâmica gerada pela massa reciprocante (amplitude):
Calcular passo a passo:
- Amplitude estática equivalente:
Interpretação: se aplicássemos a força
constante, ela deslocaria o conjunto em cerca de
. A amplitude dinâmica pode ser menor ou maior dependendo de
e
.
Passo 4
Verificação de consistência: existe algum amortecimento
que gere a amplitude medida
?
Primeiro observação matemática importante (muito usada em provas): para a fórmula
o denominador satisfaz
porque
. Portanto, para todo
,
Isto significa: o maior valor possível de
(para todos os amortecimentos não negativos) ocorre quando
e vale
Vamos calcular esse limite máximo com os números que temos:
- já tínhamos
; -
, então .
Logo
Interpretação: mesmo no caso sem amortecimento (
), a amplitude dinâmica prevista pela modelagem com os dados fornecidos é cerca de
. Isso é o valor máximo possível da amplitude do motor segundo o modelo físico usado.
Mas a amplitude medida experimental é
, que é muito maior que
. Portanto, não existe valor real de amortecimento
que faça a fórmula dar
com os demais dados fornecidos. Em termos algébricos, ao tentar isolar
aparece um número negativo dentro da raiz — sinal de inexistência de solução real.
Passo 5
Mostrar explicitamente a impossibilidade tentando isolar
(mostrando o sinal negativo).
A relação a ser satisfeita seria
Elevando ao quadrado e isolando
:
Agora calculando numericamente o lado direito:
Logo
o que é impossível para um quadrado real. Portanto não existe
que satisfaça a equação — confirmação numérica da inconsistência.
Passo 6
Conclusão prática e orientação (tom amigável).
-
Conclusão técnica: com os dados fornecidos (
, , , , ), a amplitude máxima prevista pelo modelo linear de força harmônica é aproximadamente . Como a amplitude experimental informada é , os dados são incompatíveis: não existe valor de amortecimento viscoso positivo que produza essa amplitude segundo o modelo adotado. -
Possíveis razões práticas/erros típicos (o que revisar antes da prova):
- erro de digitação na massa
(por exemplo em vez de ); - ou rigidez
foi escrita com fator errado (por ex. deveria ser ou outro valor); - ou
refere-se a outra amplitude (por exemplo amplitude do pistão ou amplitude total absoluta, não a amplitude relativa do motor no modelo de força), ou há excitações harmônicas adicionais (desbalanceamento, forças de segunda harmônica, etc.) que não foram consideradas no modelo simples. - também pode haver erro na interpretação das unidades (kN vs N, mm vs m).
- erro de digitação na massa
-
Sugestão prática para seguir estudando: se quiser, posso (a) recalcular
e assumindo que a massa correta é outra (por exemplo ) ou assumindo outro ; ou (b) mostrar como calcular quando os dados forem consistentes. Diga qual hipótese prefere (mas não preciso que me pergunte — posso assumir uma hipótese e mostrar a conta).
Resposta
Os dados fornecidos são inconsistentes: não existe valor de amortecimento
que faça a fórmula do movimento harmônico prever a amplitude experimental
com
e
.