2da Questão (Valor 8 pontos)

Um gerador composto por um motor diesel monocilíndrico de massa m=1200 \mathrm{~kg} está montado sobre isoladores com uma rigidez equivalente k e q=1800 \mathrm{KN} / \mathrm{m}. O pistão e a parte da biela equivalente têm massa de 20 kg e movem-se de forma harmônica na máquina no sentido vertical com curso de 40 cm a 600 rpm . O curso é definido como: curso =2 \mathrm{e}. A partir de um teste experimental constatou-se que a amplitude de vibração em regime permanente do motor, Xp é de 12 mm .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e qual é a pergunta implícita que vamos resolver (o enunciado não escreveu explicitamente o que quer, então vou assumir a pergunta mais comum para este tipo de problema).
Dados fornecidos:
  • massa do conjunto motor+gerador: m=1200\\ \mathrm{kg};
  • rigidez equivalente dos isoladores: k_{eq}=1800\\ \mathrm{kN/m}=1{,}8\times10^{6}\\ \mathrm{N/m} (peguei a unidade \mathrm{kN/m} do enunciado);
  • massa equivalente do pistão+biela: m_p=20\\ \mathrm{kg};
  • curso do pistão: \text{curso}=0{,}40\\ \mathrm{m}=2e, portanto e=0{,}20\\ \mathrm{m};
  • rotação: 600\\ \mathrm{rpm} (ou seja n=600/60=10\\ \mathrm{s^{-1}});
  • amplitude medida em regime permanente do motor: X_p=12\\ \mathrm{mm}=0{,}012\\ \mathrm{m}.
Pergunta assumida (implícita): determinar o amortecimento equivalente dos isoladores (coeficiente de amortecimento c e/ou razão de amortecimento \zeta) que explique a amplitude medida X_p.
Observação: se a pergunta real for outra (por exemplo força transmitida, transmissibilidade, etc.), o procedimento será semelhante. Vou resolver a partir desta suposição e mostrar todo o raciocínio físico-matemático.

Passo 2

Modelagem física e fórmulas úteis — explicando devagar como funciona a coisa toda.
Modelo físico: o sistema é um grau de liberdade com massa m apoiada em mola de rigidez k e amortecedor viscoso c. A excitação harmônica vem da massa reciprocante m_p que gera uma força dinâmica no motor devido à sua aceleração harmônica. Esse esforço harmônico é tratado como uma força aplicada F(t)=F_0\sin(\omega t) sobre a massa m.
Fórmulas e definições (vou explicar cada símbolo):
  • velocidade angular de excitação:
\omega = 2\pi\bigl(\tfrac{600}{60}\bigr)=2\pi\cdot 10 = 20\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • frequência natural (quadrado) do sistema massa-mola:
\omega_n=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
Aqui \omega_n é a frequência natural (rad/s) do conjunto montado sobre os isoladores.
  • razão de frequência adimensional:
r=\dfrac{\omega}{\omega_n}.
  • razão de amortecimento (adimensional):
\zeta=\dfrac{c}{2m\omega_n},
onde c é o coeficiente viscoso total equivalente dos isoladores.
  • Força harmônica gerada pela massa reciprocante: se a massa m_p descreve movimento harmônico com amplitude e, a aceleração máxima é \omega^2 e, logo a amplitude da força inercial é
F_0 = m_p\, e\, \omega^2.
Explicação: a massa reciprocante tende a acelerar e desacelerar; pela Terceira Lei de Newton essa inércia é transmitida ao motor como uma força periódica com amplitude m_p e \omega^2.
  • Amplitude da resposta em regime permanente (para força harmônica aplicada) — fórmula padrão (explicada): a amplitude estática equivalente é F_0/k e a amplificação dinâmica depende de r e \zeta. A amplitude da oscilação da massa m é
X=\dfrac{F_0/k}{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}}.
Explicação rápida: o denominador é a função de amplificação dinâmica; quando r está longe de 1 a resposta é pequena, quando r\approx1 se \zeta for pequeno a resposta pode aumentar muito.
Nosso objetivo é usar essa equação com X=X_p (a amplitude medida) para encontrar \zeta (e então c). Mas antes vamos calcular os termos numéricos para ver se a equação tem solução real.

Passo 3

Calcular as quantidades numéricas básicas (passo a passo e devagarinho).
  • Primeiro a velocidade angular de excitação:
\omega = 20\pi \approx 62{,}8319\\ \mathrm{rad/s}.
  • Frequência natural do sistema:
\omega_n=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{1{,}8\times10^{6}}{1200}}=\sqrt{1500}\approx 38{,}7298\\ \mathrm{rad/s}.
  • Razão de frequência:
r=\dfrac{\omega}{\omega_n}=\dfrac{62{,}8319}{38{,}7298}\approx 1{,}6220.
Portanto r>1 (excitação acima da frequência natural).
  • Força dinâmica gerada pela massa reciprocante (amplitude):
F_0 = m_p\, e\, \omega^2 = 20\cdot 0{,}20\cdot (62{,}8319)^2.
Calcular passo a passo:
\omega^2\approx 3947{,}8418,\qquad m_p e = 20\cdot 0{,}2 = 4,
F_0 = 4\cdot 3947{,}8418 \approx 15791{,}37\\ \mathrm{N}.
  • Amplitude estática equivalente:
\dfrac{F_0}{k}=\dfrac{15791{,}37}{1{,}8\times10^{6}}\approx 0{,}00877298\\ \mathrm{m}=8{,}77298\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: se aplicássemos a força F_0 constante, ela deslocaria o conjunto em cerca de 8{,}77\\ \mathrm{mm}. A amplitude dinâmica pode ser menor ou maior dependendo de r e \zeta.

Passo 4

Verificação de consistência: existe algum amortecimento \zeta\ge 0 que gere a amplitude medida X_p=0{,}012\\ \mathrm{m}?
Primeiro observação matemática importante (muito usada em provas): para a fórmula
X=\dfrac{F_0/k}{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}},
o denominador satisfaz
\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}\ge |1-r^2|,
porque (2\zeta r)^2\ge 0. Portanto, para todo \zeta\ge 0,
X \le \dfrac{F_0/k}{|1-r^2|}.
Isto significa: o maior valor possível de X (para todos os amortecimentos não negativos) ocorre quando \zeta=0 e vale
X_{\max}(\zeta\ge0)=\dfrac{F_0/k}{|1-r^2|}.
Vamos calcular esse limite máximo com os números que temos:
  • já tínhamos F_0/k\approx 0{,}00877298\\ \mathrm{m};
  • r^2\approx (1{,}6220)^2 \approx 2{,}6319, então |1-r^2|=r^2-1\approx 1{,}6319.
Logo
X_{\max} = \dfrac{0{,}00877298}{1{,}6319}\approx 0{,}005379\\ \mathrm{m}=5{,}379\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: mesmo no caso sem amortecimento ( \zeta=0), a amplitude dinâmica prevista pela modelagem com os dados fornecidos é cerca de 5{,}38\\ \mathrm{mm}. Isso é o valor máximo possível da amplitude do motor segundo o modelo físico usado.
Mas a amplitude medida experimental é X_p=12\\ \mathrm{mm}, que é muito maior que 5{,}38\\ \mathrm{mm}. Portanto, não existe valor real de amortecimento \zeta\ge0 que faça a fórmula dar X=0{,}012\\ \mathrm{m} com os demais dados fornecidos. Em termos algébricos, ao tentar isolar \zeta aparece um número negativo dentro da raiz — sinal de inexistência de solução real.

Passo 5

Mostrar explicitamente a impossibilidade tentando isolar \zeta (mostrando o sinal negativo).
A relação a ser satisfeita seria
\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}=\dfrac{F_0/k}{X_p}.
Elevando ao quadrado e isolando \zeta:
(2\zeta r)^2=\left(\dfrac{F_0/k}{X_p}\right)^2-(1-r^2)^2.
Agora calculando numericamente o lado direito:
\left(\dfrac{F_0/k}{X_p}\right)=\dfrac{0{,}00877298}{0{,}012}\approx 0{,}73108,
\left(\dfrac{F_0/k}{X_p}\right)^2\approx 0{,}53448,
(1-r^2)^2\approx (-1{,}6319)^2\approx 2{,}6629.
Logo
(2\zeta r)^2 \approx 0{,}53448 - 2{,}6629 \approx -2{,}1284 <0,
o que é impossível para um quadrado real. Portanto não existe \zeta\in\mathbb{R} que satisfaça a equação — confirmação numérica da inconsistência.

Passo 6

Conclusão prática e orientação (tom amigável).
  • Conclusão técnica: com os dados fornecidos ( m=1200\\ \mathrm{kg}, k_{eq}=1{,}8\times10^{6}\\ \mathrm{N/m}, m_p=20\\ \mathrm{kg}, e=0{,}20\\ \mathrm{m}, 600\\ \mathrm{rpm}), a amplitude máxima prevista pelo modelo linear de força harmônica é aproximadamente 5{,}38\\ \mathrm{mm}. Como a amplitude experimental informada é 12\\ \mathrm{mm}, os dados são incompatíveis: não existe valor de amortecimento viscoso positivo que produza essa amplitude segundo o modelo adotado.
  • Possíveis razões práticas/erros típicos (o que revisar antes da prova):
    1. erro de digitação na massa m (por exemplo 120\\ \mathrm{kg} em vez de 1200\\ \mathrm{kg});
    2. ou rigidez k foi escrita com fator errado (por ex. 1800\\ \mathrm{kN/m} deveria ser 180\\ \mathrm{kN/m} ou outro valor);
    3. ou X_p refere-se a outra amplitude (por exemplo amplitude do pistão ou amplitude total absoluta, não a amplitude relativa do motor no modelo de força), ou há excitações harmônicas adicionais (desbalanceamento, forças de segunda harmônica, etc.) que não foram consideradas no modelo simples.
    4. também pode haver erro na interpretação das unidades (kN vs N, mm vs m).
  • Sugestão prática para seguir estudando: se quiser, posso (a) recalcular \zeta e c assumindo que a massa correta é outra (por exemplo m=120\\ \mathrm{kg}) ou assumindo outro k; ou (b) mostrar como calcular c quando os dados forem consistentes. Diga qual hipótese prefere (mas não preciso que me pergunte — posso assumir uma hipótese e mostrar a conta).

Resposta

Os dados fornecidos são inconsistentes: não existe valor de amortecimento \zeta\ge0 que faça a fórmula do movimento harmônico prever a amplitude experimental X_p=12\\ \mathrm{mm} com m=1200\\ \mathrm{kg} e k_{eq}=1800\\ \mathrm{kN/m}.

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