3ra Questão (Valor 8 pontos)
Um sistema de 1 GL não amortecido com
e suspensão com rigidez K
é excitado por uma FORÇA PERIÓDICA com as seguintes características:
a) Calcular as Amplitudes dos Deslocamentos [mm] e as Defasagens [graus] nas frequências da excitação.
b) Escrever a expressão analítica do deslocamento
provocada pela força
.
b) Escrever a expressão analítica do deslocamento
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado). Dados:
- sistema de 1 grau de liberdade sem amortecimento (não amortecido);
-
; - rigidez
; - força aplicada
O enunciado pede:
(a) calcular as amplitudes dos deslocamentos (em ) e as defasagens (em graus) para cada frequência de excitação;
(b) escrever a expressão analítica do deslocamento em
provocado por
.
(a) calcular as amplitudes dos deslocamentos (em
(b) escrever a expressão analítica do deslocamento
Passo 2
Calcular a massa do sistema a partir de
e
. Primeiro a pulsação natural:
Para um sistema massa-mola sem amortecimento vale
. Isolando
:
Fazendo a conta passo a passo:
Valor numérico aproximado:
Passo 3
Apresentar a fórmula que vamos usar e explicar o que cada variável significa. Para um sistema linear sem amortecimento submetido a uma força harmônica
, a solução estacionária particular tem amplitude
onde:
-
é a amplitude do deslocamento (m); -
é a amplitude da força aplicada (N); -
é a rigidez (N/m); -
é a massa (kg); -
é a pulsação da excitação (rad/s).
Observação sobre a defasagem: sem amortecimento o denominador é real; se então (deslocamento em fase com a força); se então (deslocamento em oposição de fase).
Passo 4
Aplicar a fórmula ao primeiro termo da força
.
- Pulsação
. - Calcular
. Usando e :
- Então
- Amplitude em metros:
- Converter para milímetros:
- Defasagem: como
, .
Passo 5
Aplicar a fórmula ao segundo termo
.
- Pulsação
. - Calcular
. , logo
- Então
- Amplitude em metros (usar valor absoluto do denominador):
- Converter para milímetros:
- Defasagem: como
, . Observação prática: , então o termo pode ser escrito com sinal negativo.
Passo 6
Escrever a expressão analítica do deslocamento
por superposição das respostas aos dois harmônicos. A forma geral (em
) é
Substituindo valores numéricos e usando que
,
(portanto
):
Resposta
(a)
(a)
(a)
(b)