3ra Questão (Valor 8 pontos)

Um sistema de 1 GL não amortecido com \mathrm{fn}=25 \mathrm{~Hz} e suspensão com rigidez K =25000 \mathrm{~N} / \mathrm{m} é excitado por uma FORÇA PERIÓDICA com as seguintes características:
F(t)=1^{*} \operatorname{sen}\left(30^{*} \pi^{*} t+0\right)+2^{*} \operatorname{sen}\left(120^{*} \pi^{*} t+0\right)[N]
a) Calcular as Amplitudes dos Deslocamentos [mm] e as Defasagens [graus] nas frequências da excitação.
b) Escrever a expressão analítica do deslocamento x(t)[\mathrm{mm}] provocada pela força F(t)[N].

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado). Dados:
  • sistema de 1 grau de liberdade sem amortecimento (não amortecido);
  • f_n=25\\ \text{Hz};
  • rigidez K=25000\\ \mathrm{N/m};
  • força aplicada
F(t)=1\sin\bigl(30\pi t+0\bigr)+2\sin\bigl(120\pi t+0\bigr)\\ \mathrm{[N]}.
O enunciado pede:
(a) calcular as amplitudes dos deslocamentos (em [\mathrm{mm}]) e as defasagens (em graus) para cada frequência de excitação;
(b) escrever a expressão analítica do deslocamento x(t) em [\mathrm{mm}] provocado por F(t).

Passo 2

Calcular a massa do sistema a partir de f_n e K. Primeiro a pulsação natural:
\omega_n=2\pi f_n=2\pi\cdot25=50\pi\\ \text{rad/s}.
Para um sistema massa-mola sem amortecimento vale \omega_n^2=K/m. Isolando m:
m=\frac{K}{\omega_n^2}=\frac{25000}{(50\pi)^2}.
Fazendo a conta passo a passo:
(50\pi)^2=2500\pi^2, \qquad m=\frac{25000}{2500\pi^2}=\frac{10}{\pi^2}.
Valor numérico aproximado:
m\approx\frac{10}{9{,}8696}\approx1{,}0132\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

Apresentar a fórmula que vamos usar e explicar o que cada variável significa. Para um sistema linear sem amortecimento submetido a uma força harmônica F_0\sin(\omega t), a solução estacionária particular tem amplitude
X=\frac{F_0}{\lvert K - m\omega^2\rvert},
onde:
  • X é a amplitude do deslocamento (m);
  • F_0 é a amplitude da força aplicada (N);
  • K é a rigidez (N/m);
  • m é a massa (kg);
  • \omega é a pulsação da excitação (rad/s).
    Observação sobre a defasagem \varphi: sem amortecimento o denominador é real; se K-m\omega^2>0 então \varphi=0^\circ (deslocamento em fase com a força); se K-m\omega^2<0 então \varphi=180^\circ (deslocamento em oposição de fase).

Passo 4

Aplicar a fórmula ao primeiro termo da força F_1(t)=1\sin(30\pi t).
  • Pulsação \omega_1=30\pi\\ \text{rad/s}.
  • Calcular m\omega_1^2. Usando m=\dfrac{10}{\pi^2} e \omega_1^2=(30\pi)^2=900\pi^2:
m\omega_1^2=\frac{10}{\pi^2}\cdot900\pi^2=9000\\ \mathrm{N/m}.
  • Então
K-m\omega_1^2=25000-9000=16000\\ \mathrm{N/m}.
  • Amplitude em metros:
X_1=\frac{F_{01}}{K-m\omega_1^2}=\frac{1}{16000}=6{,}25\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
  • Converter para milímetros: X_1=6{,}25\times10^{-5}\,\mathrm{m}=0{,}0625\\ \mathrm{mm}.
  • Defasagem: como K-m\omega_1^2>0, \phi_1=0^\circ.

Passo 5

Aplicar a fórmula ao segundo termo F_2(t)=2\sin(120\pi t).
  • Pulsação \omega_2=120\pi\\ \text{rad/s}.
  • Calcular m\omega_2^2. \omega_2^2=(120\pi)^2=14400\pi^2, logo
m\omega_2^2=\frac{10}{\pi^2}\cdot14400\pi^2=144000\\ \mathrm{N/m}.
  • Então
K-m\omega_2^2=25000-144000=-119000\\ \mathrm{N/m}.
  • Amplitude em metros (usar valor absoluto do denominador):
X_2=\frac{F_{02}}{\lvert K-m\omega_2^2\rvert}=\frac{2}{119000}\approx1{,}6806723\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
  • Converter para milímetros: X_2\approx0{,}0168067\\ \mathrm{mm}.
  • Defasagem: como K-m\omega_2^2<0, \phi_2=180^\circ. Observação prática: \sin(\omega t+180^\circ)=-\sin(\omega t), então o termo pode ser escrito com sinal negativo.

Passo 6

Escrever a expressão analítica do deslocamento x(t) por superposição das respostas aos dois harmônicos. A forma geral (em \mathrm{mm}) é
x(t)=X_1\sin\bigl(30\pi t+\phi_1\bigr)+X_2\sin\bigl(120\pi t+\phi_2\bigr).
Substituindo valores numéricos e usando que \phi_1=0^\circ, \phi_2=180^\circ (portanto \sin(\cdot+180^\circ)=-\sin(\cdot)):
x(t)=0{,}0625\sin\bigl(30\pi t\bigr)-0{,}0168067\sin\bigl(120\pi t\bigr)\\ \mathrm{[mm]}.

Resposta

(a) X_1=0{,}0625\\ \mathrm{mm},\\ \phi_1=0^\circ
(a) X_2=0{,}0168067\\ \mathrm{mm},\\ \phi_2=180^\circ
(b) x(t)=0{,}0625\sin\bigl(30\pi t\bigr)-0{,}0168067\sin\bigl(120\pi t\bigr)\\ \mathrm{[mm]}

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