2.2E Identifique cada série abaixo com uma série de encaixe ou uma série geométrica e calcule o valor da soma no caso de ela convergir.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{n-2}}-\frac{1}{3^{n+2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
S = \sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\tfrac{1}{2^{n-2}} \;-\;\tfrac{1}{3^{n+2}}\Bigr)
Identificamos que cada termo é a diferença de duas séries geométricas do tipo \sum ar^n. Vamos verificar convergência (ambas têm |r|<1) e usar a fórmula da soma de série geométrica para \sum_{n=1}^\infty ar^{n}.

Passo 2

Analisa a primeira série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n-2}} =\sum_{n=1}^{\infty}2^{2-n} =4\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n}.
Como \sum_{n=1}^{\infty}r^n = \frac{r}{1-r} para |r|<1, temos
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n} =\frac{\tfrac12}{1-\tfrac12}=1,
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\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n-2}}=4\cdot1=4.

Passo 3

Analisa a segunda série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n+2}} =\sum_{n=1}^{\infty}3^{-2}\cdot3^{-n} =\frac{1}{9}\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\tfrac13\Bigr)^{n}.
De novo, usando \sum_{n=1}^{\infty}r^n = \frac{r}{1-r}, obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\tfrac13\Bigr)^{n} =\frac{\tfrac13}{1-\tfrac13}=\frac12,
e assim
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n+2}} =\frac{1}{9}\cdot\frac12=\frac{1}{18}.

Passo 4

Combina as duas somas por diferença:
S = 4 \;-\;\frac{1}{18} =\frac{72}{18}-\frac{1}{18} =\frac{71}{18}.

Resposta

\displaystyle \frac{71}{18}

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