2.2E Identifique cada série abaixo com uma série de encaixe ou uma série geométrica e calcule o valor da soma no caso de ela convergir.
\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{(-1)^{n}}{2^{n}}+\frac{(-1)^{n+1}}{3^{n}}\right]

Passo 1

O enunciado pede para somar
S = \sum_{n=1}^\infty \Bigl(\frac{(-1)^n}{2^n} + \frac{(-1)^{n+1}}{3^n}\Bigr).
Note que é a soma de duas séries, cada uma com termo geral de forma geométrica. Vamos identificar cada uma como série geométrica e usar a fórmula da soma: se \sum_{n=1}^\infty a_1\,r^{\,n-1}, então
\sum_{n=1}^\infty a_1\,r^{\,n-1} = \frac{a_1}{1 - r},
desde que |r|<1.

Passo 2

Escrevemos cada termo na forma a_1\,r^{\,n-1}:
\frac{(-1)^n}{2^n} = \bigl(-\tfrac12\bigr)\,\bigl(-\tfrac12\bigr)^{n-1}, \quad \frac{(-1)^{n+1}}{3^n} = \bigl(\tfrac13\bigr)\,\bigl(-\tfrac13\bigr)^{n-1}.
Logo, a primeira série tem a_1 = -\tfrac12 e r = -\tfrac12, e a segunda tem a_1 = \tfrac13 e r = -\tfrac13.

Passo 3

Calculando a primeira série:
S_1 = \sum_{n=1}^\infty \bigl(-\tfrac12\bigr)\,\bigl(-\tfrac12\bigr)^{n-1} = \frac{-\tfrac12}{1 - (-\tfrac12)} = \frac{-\tfrac12}{\tfrac32} = -\tfrac13.

Passo 4

Calculando a segunda série:
S_2 = \sum_{n=1}^\infty \tfrac13\,\bigl(-\tfrac13\bigr)^{n-1} = \frac{\tfrac13}{1 - (-\tfrac13)} = \frac{\tfrac13}{\tfrac43} = \tfrac14.

Passo 5

Somando as duas partes:
S = S_1 + S_2 = -\tfrac13 + \tfrac14 = -\tfrac{4}{12} + \tfrac{3}{12} = -\tfrac{1}{12}.

Resposta

-\tfrac{1}{12}

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