Use o Critério da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a natureza das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{3}}\

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n^{3}}
usando o critério da comparação direta (ou, alternativamente, comparação no limite).

Passo 2

Para n\ge1 vale a desigualdade \ln(n)\le n. Logo,
\frac{\ln(n)}{n^{3}}\le \frac{n}{n^{3}} = \frac{1}{n^{2}}.
Sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
é uma série p-com convergência garantida por p=2>1. Assim, pelo critério da comparação direta, a série dada também converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln(n)}{n^{3}} é convergente.

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