2.2E Identifique cada série abaixo com uma série de encaixe ou uma série geométrica e calcule o valor da soma no caso de ela convergir.
Passo 1
O enunciado pede para identificar se a série
é uma série de encaixe (telescópica) ou uma série geométrica, e, em caso de convergência, calcular sua soma. Vamos mostrar que ela é telescópica usando decomposição em frações parciais.
Passo 2
Aplicamos frações parciais em
Procuramos constantes
e
tais que
Isso implica
Comparando coeficientes de
e termos constantes, obtemos
logo
Portanto
Passo 3
Escrevemos a soma parcial
usando a forma telescópica:
Ao expandir, nota-se o cancelamento em cadeia:
Passo 4
Para obter a soma da série, fazemos
:
Resposta
A série é de encaixe (telescópica) e converge para
.