2.2E Identifique cada série abaixo com uma série de encaixe ou uma série geométrica e calcule o valor da soma no caso de ela convergir.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4 n^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para identificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^{2}-1}
é uma série de encaixe (telescópica) ou uma série geométrica, e, em caso de convergência, calcular sua soma. Vamos mostrar que ela é telescópica usando decomposição em frações parciais.

Passo 2

Aplicamos frações parciais em
\frac{1}{4n^{2}-1}=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}.
Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} =\frac{A}{2n-1}+\frac{B}{2n+1}.
Isso implica
1=A(2n+1)+B(2n-1).
Comparando coeficientes de n e termos constantes, obtemos
2A+2B=0 \quad\text{e}\quad A - B = 1,
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A=\frac12, \quad B=-\frac12.
Portanto
\frac{1}{4n^{2}-1} =\frac12\Bigl(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\Bigr).

Passo 3

Escrevemos a soma parcial S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{4n^{2}-1} usando a forma telescópica:
S_{N} =\frac12\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\Bigr).
Ao expandir, nota-se o cancelamento em cadeia:
S_{N} =\frac12\Bigl( (1-\tfrac{1}{3}) +(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{5}) +(\tfrac{1}{5}-\tfrac{1}{7}) +\cdots +(\tfrac{1}{2N-1}-\tfrac{1}{2N+1}) \Bigr) =\frac12\Bigl(1-\frac{1}{2N+1}\Bigr).

Passo 4

Para obter a soma da série, fazemos N\to\infty:
\lim_{N\to\infty}S_{N} =\frac12\Bigl(1-\lim_{N\to\infty}\tfrac{1}{2N+1}\Bigr) =\frac12\bigl(1-0\bigr) =\frac12.

Resposta

A série é de encaixe (telescópica) e converge para \tfrac12.

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