2.2E Identifique cada série abaixo com uma série de encaixe ou uma série geométrica e calcule o valor da soma no caso de ela convergir.
\sum_{n=3}^{\infty} \frac{2}{(4 n-3)(4 n+1)}

Passo 1

O enunciado é a série
\sum_{n=3}^{\infty} \frac{2}{(4n-3)(4n+1)}
que exige identificar se é geométrica ou de encaixe (telescópica) e, se convergir, calcular sua soma. Vamos usar frações parciais para ver que é uma série telescópica.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais: procuramos A\) e \(B\) tais que \[\frac{2}{(4n-3)(4n+1)}=\frac{A}{4n-3}+\frac{B}{4n+1}.
Multiplicando ambos os lados por (4n-3)(4n+1) fica
2 = A(4n+1)+B(4n-3).
Comparando coeficientes de n e termo constante obtemos o sistema
\begin{cases} 4(A+B)=0,\\\ A-3B=2. \end{cases}
Dessa forma A=-B\] e \(4A=2 leva a A=\tfrac12, B=-\tfrac12.

Passo 3

Substituindo em cada termo da série,
\frac{2}{(4n-3)(4n+1)} =\frac{1/2}{4n-3}-\frac{1/2}{4n+1} =\frac12\Bigl(\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1}\Bigr).
Esse formato revela que a soma parcial até N é telescópica, pois muitos termos vão cancelar.

Passo 4

A soma parcial S_N=\sum_{n=3}^{N}\frac12\bigl(\frac1{4n-3}-\frac1{4n+1}\bigr)
S_N=\frac12\Bigl(\frac1{4\cdot3-3}-\frac1{4\cdot N+1}\Bigr) =\frac12\Bigl(\frac1{9}-\frac1{4N+1}\Bigr) =\frac1{18}-\frac{1}{2(4N+1)}.

Passo 5

Fazendo N\to\infty o termo \frac1{4N+1} tende a zero, logo a série converge e
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{2}{(4n-3)(4n+1)} =\lim_{N\to\infty}S_N =\frac1{18}.

Resposta

A série é uma série de encaixe (telescópica) e converge para \tfrac{1}{18}.

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