2.2E Identifique cada série abaixo com uma série de encaixe ou uma série geométrica e calcule o valor da soma no caso de ela convergir.
Passo 1
O enunciado é a série
que exige identificar se é geométrica ou de encaixe (telescópica) e, se convergir, calcular sua soma. Vamos usar frações parciais para ver que é uma série telescópica.
Passo 2
Fazemos a decomposição em frações parciais: procuramos
Multiplicando ambos os lados por
fica
Comparando coeficientes de
e termo constante obtemos o sistema
Dessa forma
leva a
,
.
Passo 3
Substituindo em cada termo da série,
Esse formato revela que a soma parcial até
é telescópica, pois muitos termos vão cancelar.
Passo 4
A soma parcial
dá
Passo 5
Fazendo
o termo
tende a zero, logo a série converge e
Resposta
A série é uma série de encaixe (telescópica) e converge para
.