5.2E Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Após uma hora, observam-se 1.000 fileiras de bactérias na cultura; e após quatro horas, 3.000 fileiras. Determine (a) a expressão do número aproximado N(t) de fileiras de bactérias presentes na cultura no instante t e (b) o número aproximado N0 de fileiras de bactérias no início da cultura.

Passo 1

O enunciado diz que a cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente, ou seja, obedece ao modelo exponencial
N(t)=N0,e^k,t,
onde ;N0 é o número inicial de fileiras e k a constante de crescimento. Sabemos que N(1)=1000 e N(4)=3000. Precisamos achar a expressão de N(t) (parte a) e o valor de N0 (parte b).

Passo 2

Substituímos t=1 em N(t)=N0e^k,t para obter a primeira equação:
N(1)=N0e^k=1000

Passo 3

Substituímos t=4 no mesmo modelo para obter a segunda equação:
N(4)=N0e^4k=3000

Passo 4

Dividindo a segunda equação pela primeira, eliminamos N0:
N(4)N(1) =N0e^4kN0e^k =e^3k =30001000=3 Longrightarrow e^3k=3

Passo 5

Tomando logaritmo natural, achamos k:
3k=ln(3) Longrightarrow k=ln(3)3

Passo 6

Voltando à equação N(1)=N0e^k=1000, isolamos N0:
N0 =1000e^k =1000,e^-,ln(3)3 =1000cdot 3^-tfrac13

Passo 7

Substituímos k e N0 na expressão geral para obter N(t). Uma forma conveniente é:
N(t) =1000,e^,ln(3)3(t-1) =1000cdot 3^tfract-13

Resposta

(a) N(t)=1000cdot 3^t-13.
(b) N0=1000cdot 3^-13approx693.

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