5.2E Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Após uma hora, observam-se 1.000 fileiras de bactérias na cultura; e após quatro horas, 3.000 fileiras. Determine (a) a expressão do número aproximado
de fileiras de bactérias presentes na cultura no instante
e (b) o número aproximado
de fileiras de bactérias no início da cultura.
Passo 1
O enunciado diz que a cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente, ou seja, obedece ao modelo exponencial
onde
é o número inicial de fileiras e
a constante de crescimento. Sabemos que
e
. Precisamos achar a expressão de
(parte a) e o valor de
(parte b).
Passo 2
Substituímos
em
para obter a primeira equação:
Passo 3
Substituímos
no mesmo modelo para obter a segunda equação:
Passo 4
Dividindo a segunda equação pela primeira, eliminamos
:
Passo 5
Tomando logaritmo natural, achamos
:
Passo 6
Voltando à equação
, isolamos
:
Passo 7
Substituímos
e
na expressão geral para obter
. Uma forma conveniente é:
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)