Utilizando técnicas de integração, determine:
(2,0) integral x^3(raizx^2+1)^3 d x

Solução 1

(1,5)
Substituindo lu=x^2+1 d u=2 x d x Leftrightarrow x^2=u-1
I:=integral x^3(raizx^2+1)^3 d x=integral x^2(raizx^2+1)^3 cdot x d x & =integral u-1u^3 / 2 12 d u & =12 integral u^-1 / 2-u^-3 / 2 d u & =12(2 u^1 / 2+2 u^-1 / 2)+C
Voltando à variável x :
I=(raizx^2+1+1raizx^2+1)+C
Solução 2
(1,0)
Substituindo lx=tg t, t in(-pi / 2, pi / 2) raizx^2+1=|sec t|=sec t d x=sec ^2 t d t
I:=integral tg^3 tsec ^3 t sec ^2 t d t=integral tg^3 tsec t d t=integral sen^3 tcos ^2 t d t=integral 1-cos ^2 tcos ^2 t sen t d t
Fazemos a substituição lu=cos t d u=-sen t d t
I=integral 1-u^2u^2(-1) d u=-integral u^-2-1 d u=-(-1u-u)+C=(sec t+cos t)+C
Voltando à variável x : como x=tg t, então x^2+1=tg^2 t+1=sec ^2 t e sec t=raizx^2+1, cos t=1 / raiz1+x^2,
I=(raizx^2+1+1raizx^2+1)+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
I = integral x^3l(raizx^2+1r)^3,dx
O conteúdo usado será técnica de substituição, aproveitando que x^2+1 aparece sob raiz.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^2+1, du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = 12,du, x^2 = u-1
Então
x^3,dx = x^2,(x,dx) = (u-1),12,du e l(raizx^2+1r)^3 = u^3/2

Passo 3

Substituindo em I:
I = integral (u-1),12,duu^3/2 = 12integral l(u^-1/2-u^-3/2r),du

Passo 4

Integramos cada termo:
integral u^-1/2,du = 2u^1/2, integral u^-3/2,du = -2u^-1/2
Logo
I = 12l(2u^1/2 + 2u^-1/2r) + C = u^1/2 + u^-1/2 + C

Passo 5

Voltando a x:
u^1/2 = raizx^2+1, u^-1/2 = 1raizx^2+1
Portanto
I = raizx^2+1 + 1raizx^2+1 + C

Resposta

integral x^3l(raizx^2+1r)^3,dx = raizx^2+1 ;+;1raizx^2+1 + C

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