Encontre os valores máximos e mínimos absolutos da função f(x)= (x^2-2)^2 / 3, no intervalo [-1,2].

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos absolutos da função
f(x) = l(x^2-2r)^2/3
no intervalo [-1,2]. Como a função é contínua em todo esse intervalo fechado, podemos aplicar o método de extremos absolutos: achar os pontos críticos (onde f'(x)=0 ou indefinido) e avaliar também os extremos de intervalo x=-1 e x=2.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de f. Como
f(x) = l(x^2-2r)^2/3,
usamos a regra da cadeia:
f'(x) = 23l(x^2-2r)^-1/3cdot 2x = 4x3,(x^2-2)^-1/3
O denominador se anula quando x^2-2=0, isto é em x=pmraiz2, e o numerador se anula em x=0. Desses, em [-1,2] temos como pontos críticos x=0 e x=raiz2.

Passo 3

Os pontos a avaliar são:
x=-1, x=0, x=raiz2, x=2

Passo 4

Agora avaliamos f em cada ponto:
f(-1)=l((-1)^2-2r)^2/3 =(-1)^2/3=1,
f(0)=l(0^2-2r)^2/3=(-2)^2/3=2^2/3,
f(raiz2)=l(2-2r)^2/3=0,
f(2)=l(4-2r)^2/3=2^2/3

Passo 5

Comparando os valores:
  • O menor valor é 0, em x=raiz2.
  • O maior valor é 2^2/3, atingido em x=0 e em x=2.

Resposta

Mínimo absoluto: f(raiz2)=0.
Máximo absoluto: f(0)=f(2)=2^2/3.

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