Analise a concavidade da função f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right). Determine os intervalos onde a função é côncava para cima, os intervalos onde é côncava para baixo e encontre seus pontos de inflexão.

Passo 1

O enunciado pede que se determine, para a função f(x)=\ln\!\left(x^{2}+1\right):
  • Os intervalos onde f é côncava para cima.
  • Os intervalos onde f é côncava para baixo.
  • Os pontos de inflexão (se existirem).
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\ln\!\left(x^{2}+1\right) definida para todo x\in\mathbb{R} (porque x^{2}+1>0 para todo x).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo):
  • A concavidade de uma função é determinada pelo sinal da segunda derivada.
  • Regra prática:
    • Se \,f''(x)>0 em um intervalo, então f é côncava para cima nesse intervalo.
    • Se \,f''(x)<0 em um intervalo, então f é côncava para baixo nesse intervalo.
    • Um ponto x_0 é ponto de inflexão se f''(x_0)=0 ou f'' não existe em x_0 e, além disso, o sinal de f'' muda ao atravessar x_0.
  • Portanto o plano: calcular f'(x), depois f''(x), estudar o sinal de f''(x) e verificar onde muda de sinal.

Passo 3

Calcular a primeira derivada usando a regra da cadeia (a regra para \ln):
  • Regra da cadeia aplicada a f(x)=\ln(u(x)): \dfrac{d}{dx}\ln\!(u(x))=\dfrac{u'(x)}{u(x)}.
  • Aqui u(x)=x^{2}+1. Então u'(x)=2x.
  • Logo,
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{2x}{x^{2}+1}.
Explicando: f'(x) é a taxa de variação instantânea da função; obtivemos uma fração porque a derivada de \ln “traz” u'(x) sobre u(x).

Passo 4

Calcular a segunda derivada f''(x). Vou fazer isto escrevendo f'(x) como produto para aplicar regras conhecidas de derivação passo a passo:
  • Escrevendo f'(x)=2x\,(x^{2}+1)^{-1}.
  • Aplicando a regra do produto: \dfrac{d}{dx}\big(a(x)b(x)\big)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x).
    • Aqui a(x)=2x e b(x)=(x^{2}+1)^{-1}.
    • Então a'(x)=2.
    • Para b'(x) usamos a regra da cadeia: b'(x)=-1\cdot(x^{2}+1)^{-2}\cdot 2x = -\dfrac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}.
  • Agora aplicando a regra do produto:
f''(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x) =2\cdot (x^{2}+1)^{-1} + 2x\cdot\left(-\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}\right).
  • Simplificando termo a termo:
f''(x)=\frac{2}{x^{2}+1} - \frac{4x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.
  • Colocando em um denominador comum (x^{2}+1)^{2}:
f''(x)=\frac{2(x^{2}+1)-4x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{2x^{2}+2-4x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{2(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^{2}}.
Portanto
f''(x)=\frac{2(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 5

Estudo do sinal de f''(x):
  • Observe que o denominador (x^{2}+1)^{2} é sempre positivo para todo x (pois x^{2}+1>0 e quadrado é positivo). Então o sinal de f''(x) é o mesmo do numerador 2(1-x^{2}).
  • O fator 2 é positivo; então basta analisar 1-x^{2}.
    • Resolver 1-x^{2}>0 x^{2}<1, ou seja -1<x<1.
    • Resolver 1-x^{2}<0 x^{2}>1, ou seja x<-1 ou x>1.
    • E 1-x^{2}=0 quando x=\pm 1.
  • Conclusão sobre sinais:
    • Para x\in(-1,1): 1-x^{2}>0 \Rightarrow f''(x)>0. Logo f é côncava para cima em (-1,1).
    • Para x\in(-\infty,-1)\cup(1,\infty): 1-x^{2}<0 \Rightarrow f''(x)<0. Logo f é côncava para baixo nesses intervalos.
    • Em x=\pm 1: f''(x)=0 (candidatos a pontos de inflexão).

Passo 6

Verificar se em x=\pm 1 ocorre mudança de concavidade (para confirmar pontos de inflexão) e obter as coordenadas dos pontos:
  • Já verificamos que o sinal de f'' passa de negativo (à esquerda de -1) para positivo (entre -1 e 1) e novamente para negativo (à direita de 1). Portanto há mudança de sinal em x=-1 e em x=1.
  • Como f é diferenciável e f'' existe nesses pontos (valores finitos), essas mudanças de sinal confirmam que x=-1 e x=1 são pontos de inflexão.
  • Calcular as ordenadas: f(1)=\ln\!(1^{2}+1)=\ln\!2. Igual para x=-1: f(-1)=\ln\!((-1)^{2}+1)=\ln\!2.
  • Logo os pontos de inflexão são \big(-1,\ln\!2\big) e \big(1,\ln\!2\big).

Resposta

Concava para cima: (-1,1)
Concava para baixo: (-\infty,-1)\cup(1,\infty)
Pontos de inflexão: \big(-1,\ln\!2\big) e \big(1,\ln\!2\big)

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