Analise a concavidade da função
. Determine os intervalos onde a função é côncava para cima, os intervalos onde é côncava para baixo e encontre seus pontos de inflexão.
Passo 1
O enunciado pede que se determine, para a função
:
- Os intervalos onde
é côncava para cima. - Os intervalos onde
é côncava para baixo. - Os pontos de inflexão (se existirem).
Informações dadas:
- A função é
definida para todo (porque para todo ).
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado passo a passo):
- A concavidade de uma função é determinada pelo sinal da segunda derivada.
- Regra prática:
- Se
em um intervalo, então é côncava para cima nesse intervalo. - Se
em um intervalo, então é côncava para baixo nesse intervalo. - Um ponto
é ponto de inflexão se ou não existe em e, além disso, o sinal de muda ao atravessar .
- Se
- Portanto o plano: calcular
, depois , estudar o sinal de e verificar onde muda de sinal.
Passo 3
Calcular a primeira derivada usando a regra da cadeia (a regra para
):
- Regra da cadeia aplicada a
: . - Aqui
. Então . - Logo,
Explicando:
é a taxa de variação instantânea da função; obtivemos uma fração porque a derivada de
“traz”
sobre
.
Passo 4
Calcular a segunda derivada
. Vou fazer isto escrevendo
como produto para aplicar regras conhecidas de derivação passo a passo:
- Escrevendo
. - Aplicando a regra do produto:
. - Aqui
e . - Então
. - Para
usamos a regra da cadeia: .
- Aqui
- Agora aplicando a regra do produto:
- Simplificando termo a termo:
- Colocando em um denominador comum
:
Portanto
Passo 5
Estudo do sinal de
:
- Observe que o denominador
é sempre positivo para todo (pois e quadrado é positivo). Então o sinal de é o mesmo do numerador . - O fator
é positivo; então basta analisar . - Resolver
dá , ou seja . - Resolver
dá , ou seja ou . - E
quando .
- Resolver
- Conclusão sobre sinais:
- Para
: . Logo é côncava para cima em . - Para
: . Logo é côncava para baixo nesses intervalos. - Em
: (candidatos a pontos de inflexão).
- Para
Passo 6
Verificar se em
ocorre mudança de concavidade (para confirmar pontos de inflexão) e obter as coordenadas dos pontos:
- Já verificamos que o sinal de
passa de negativo (à esquerda de ) para positivo (entre e ) e novamente para negativo (à direita de ). Portanto há mudança de sinal em e em . - Como
é diferenciável e existe nesses pontos (valores finitos), essas mudanças de sinal confirmam que e são pontos de inflexão. - Calcular as ordenadas:
. Igual para : . - Logo os pontos de inflexão são
e .
Resposta
Concava para cima:
Concava para baixo:
Pontos de inflexão: e
Concava para baixo:
Pontos de inflexão: