Considere a função polinomial
.
(a) Encontre todos os pontos críticos.
(b) Tente usar o Teste da Derivada Segunda para classificá-los. Onde ele falha?
(c) Use o Teste da Derivada Primeira onde o da segunda falhou.
(a) Encontre todos os pontos críticos.
(b) Tente usar o Teste da Derivada Segunda para classificá-los. Onde ele falha?
(c) Use o Teste da Derivada Primeira onde o da segunda falhou.
Passo 1
O enunciado dá a função polinomial
e pede três coisas:
- (a) Encontrar todos os pontos críticos da função.
- (b) Tentar classificar esses pontos usando o Teste da Derivada Segunda e indicar onde esse teste falha.
- (c) Onde o Teste da Derivada Segunda falhar, usar o Teste da Derivada Primeira para classificar o ponto.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é
. - Não há pontos em que a derivada seja indefinida, porque
é polinomial (derivadas de polinômios existem para todo ).
Passo 2
O que é um ponto crítico (explicação didática)?
- Um ponto
é ponto crítico de se ou se não existe em . - Aqui
é polinomial, então existe para todo . Assim os pontos críticos são exatamente as soluções de .
Passo 3
Calcular a derivada primeira (mostrando cada passo da diferenciação).
- Regra usada: a derivada de
é . - Aplicando termo a termo em
:
Passo 4
Fatorar
para resolver
de forma simples.
- Coloca-se
em evidência:
- E mais:
. Logo
Passo 5
Encontrar as raízes de
.
- As soluções da equação estão onde algum fator é zero:
-
não dá solução (constante não nula). -
. -
. -
.
-
- Portanto os pontos críticos são
, e . - Para referência, calcular os valores de
nesses pontos:
Passo 6
Calcular a derivada segunda e recordar o Teste da Derivada Segunda (teoria e interpretação).
- Regra: se
então tem mínimo local em ; se então máximo local; se o teste é inconclusivo (pode ser mínimo, máximo, ponto de inflexão, etc.). - Calcular
a partir de :
- Fatorando:
Passo 7
Aplicar o Teste da Derivada Segunda nos pontos críticos e interpretar os sinais.
- Em
:
Conclui-se:
é ponto de mínimo local (porque
). O valor é
.
- Em
:
Conclui-se:
é ponto de máximo local (porque
). O valor é
.
- Em
:
Aqui o Teste da Derivada Segunda falha (é inconclusivo) porque
. Não se pode dizer se é máximo, mínimo ou outro apenas pelo sinal zero.
Passo 8
Explicar por que o Teste da Derivada Segunda falha em
(intuição).
- O Teste da Derivada Segunda usa o sinal de
exatamente no ponto crítico. Se , a curvatura instantânea ali é nula e o teste não decide; a função pode ter um ponto de inflexão com tangente horizontal ou um extremo mais “plano”. Precisamos então olhar para o comportamento da derivada primeira à esquerda e à direita de (Teste da Derivada Primeira).
Passo 9
Apresentar e executar o Teste da Derivada Primeira em
(explicando a ideia).
- Ideia do Teste da Derivada Primeira: analisar o sinal de
em intervalos imediatamente à esquerda e à direita do ponto crítico . - Se
muda de positivo para negativo em então é máximo local. - Se
muda de negativo para positivo em então é mínimo local. - Se
não muda de sinal em então não é extremo (pode ser ponto de inflexão, por exemplo).
- Se
- Já temos a fatoração
Observações úteis:
- O fator
é sempre e é zero só em . Para esse fator é positivo. - O sinal de
para é então dado pelo sinal de .
Passo 10
Determinar o sinal de
nos intervalos determinados pelos pontos críticos e, em especial, em torno de
.
- Intervalos a considerar:
, , , . - Para cada intervalo, verificar o sinal de
: - Se
então . Como para , tem-se em . - Se
então . Logo em . - Se
então também . Logo em . - Se
então . Logo em .
- Se
- Resumo do sinal de
: em , em , em , em .
Passo 11
Concluir a classificação em
usando os sinais da derivada primeira.
- Observação importante: à esquerda de
(no intervalo ) temos ; à direita de (no intervalo ) também temos . - Ou seja,
não muda de sinal em : é negativo antes e depois de . Então não é nem máximo nem mínimo local. - Como adicionalmente vimos que
muda de sinal em (verificação: para pequenos com , ; para pequenos com , ), isso indica que é um ponto de inflexão com tangente horizontal (inflection point com derivada zero). - Confirmando:
.
Passo 12
Resumo intuitivo (uma frase amigável para fixar):
- Em
a função sobe antes e desce depois (troca ), logo máximo local; em troca logo mínimo local; em a função está decrescendo dos dois lados com tangente horizontal, portanto não é extremo, é um ponto de inflexão horizontal.
Resposta
(a) Pontos críticos:
.
(b) Teste da Derivada Segunda:
então
é mínimo local;
então
é máximo local; o teste falha em
pois
(inconclusivo).
(c) Teste da Derivada Primeira em
:
é negativo tanto à esquerda quanto à direita de
(não há troca de sinal), logo
não é extremo — é um ponto de inflexão com tangente horizontal (valor
).