Considere a função polinomial h(x)=3 x^{5}-5 x^{3}+3.
(a) Encontre todos os pontos críticos.
(b) Tente usar o Teste da Derivada Segunda para classificá-los. Onde ele falha?
(c) Use o Teste da Derivada Primeira onde o da segunda falhou.

Passo 1

O enunciado dá a função polinomial h(x)=3x^{5}-5x^{3}+3 e pede três coisas:
  • (a) Encontrar todos os pontos críticos da função.
  • (b) Tentar classificar esses pontos usando o Teste da Derivada Segunda e indicar onde esse teste falha.
  • (c) Onde o Teste da Derivada Segunda falhar, usar o Teste da Derivada Primeira para classificar o ponto.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é h(x)=3x^{5}-5x^{3}+3.
  • Não há pontos em que a derivada seja indefinida, porque h é polinomial (derivadas de polinômios existem para todo x).

Passo 2

O que é um ponto crítico (explicação didática)?
  • Um ponto c é ponto crítico de h se \,h'\text{(c)}=0 ou se h' não existe em c.
  • Aqui h é polinomial, então h' existe para todo x. Assim os pontos críticos são exatamente as soluções de \,h'(x)=0.

Passo 3

Calcular a derivada primeira (mostrando cada passo da diferenciação).
  • Regra usada: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}.
  • Aplicando termo a termo em h(x)=3x^{5}-5x^{3}+3:
h'(x)=3\cdot 5 x^{4}-5\cdot 3 x^{2}+0 =15x^{4}-15x^{2}.

Passo 4

Fatorar h'(x) para resolver h'(x)=0 de forma simples.
  • Coloca-se 15x^{2} em evidência:
h'(x)=15x^{2}(x^{2}-1).
  • E mais: x^{2}-1=(x-1)(x+1). Logo
h'(x)=15x^{2}(x-1)(x+1).

Passo 5

Encontrar as raízes de h'(x)=0.
  • As soluções da equação estão onde algum fator é zero:
    • 15=0 não dá solução (constante não nula).
    • x^{2}=0 \Rightarrow x=0.
    • x-1=0 \Rightarrow x=1.
    • x+1=0 \Rightarrow x=-1.
  • Portanto os pontos críticos são x=-1, x=0 e x=1.
  • Para referência, calcular os valores de h nesses pontos:
h(-1)=3(-1)^{5}-5(-1)^{3}+3=-3+5+3=5,
h(0)=3,
h(1)=3-5+3=1.

Passo 6

Calcular a derivada segunda e recordar o Teste da Derivada Segunda (teoria e interpretação).
  • Regra: se h''\text{(c)}>0 então h tem mínimo local em c; se h''\text{(c)}<0 então máximo local; se h''\text{(c)}=0 o teste é inconclusivo (pode ser mínimo, máximo, ponto de inflexão, etc.).
  • Calcular h''(x) a partir de h'(x)=15x^{4}-15x^{2}:
h''(x)=15\cdot 4 x^{3}-15\cdot 2 x =60x^{3}-30x.
  • Fatorando:
h''(x)=30x(2x^{2}-1).

Passo 7

Aplicar o Teste da Derivada Segunda nos pontos críticos e interpretar os sinais.
  • Em x=1:
h''(1)=30\cdot 1\cdot(2\cdot 1^{2}-1)=30(2-1)=30>0.
Conclui-se: x=1 é ponto de mínimo local (porque h''(1)>0). O valor é h(1)=1.
  • Em x=-1:
h''(-1)=30\cdot (-1)\cdot(2\cdot 1-1)=30(-1)(1)=-30<0.
Conclui-se: x=-1 é ponto de máximo local (porque h''(-1)<0). O valor é h(-1)=5.
  • Em x=0:
h''(0)=30\cdot 0\cdot(2\cdot 0^{2}-1)=0.
Aqui o Teste da Derivada Segunda falha (é inconclusivo) porque h''(0)=0. Não se pode dizer se é máximo, mínimo ou outro apenas pelo sinal zero.

Passo 8

Explicar por que o Teste da Derivada Segunda falha em x=0 (intuição).
  • O Teste da Derivada Segunda usa o sinal de h'' exatamente no ponto crítico. Se h''\text{(c)}=0, a curvatura instantânea ali é nula e o teste não decide; a função pode ter um ponto de inflexão com tangente horizontal ou um extremo mais “plano”. Precisamos então olhar para o comportamento da derivada primeira h' à esquerda e à direita de x=0 (Teste da Derivada Primeira).

Passo 9

Apresentar e executar o Teste da Derivada Primeira em x=0 (explicando a ideia).
  • Ideia do Teste da Derivada Primeira: analisar o sinal de h'(x) em intervalos imediatamente à esquerda e à direita do ponto crítico c.
    • Se h' muda de positivo para negativo em c então c é máximo local.
    • Se h' muda de negativo para positivo em c então c é mínimo local.
    • Se h' não muda de sinal em c então c não é extremo (pode ser ponto de inflexão, por exemplo).
  • Já temos a fatoração
h'(x)=15x^{2}(x-1)(x+1).
Observações úteis:
  • O fator 15x^{2} é sempre \ge 0 e é zero só em x=0. Para x\neq 0 esse fator é positivo.
  • O sinal de h'(x) para x\neq 0 é então dado pelo sinal de (x-1)(x+1)=x^{2}-1.

Passo 10

Determinar o sinal de h'(x) nos intervalos determinados pelos pontos críticos e, em especial, em torno de x=0.
  • Intervalos a considerar: (-\infty,-1), (-1,0), (0,1), (1,\infty).
  • Para cada intervalo, verificar o sinal de x^{2}-1:
    • Se x<-1 então x^{2}>1\Rightarrow x^{2}-1>0. Como 15x^{2}>0 para x\neq0, tem-se h'(x)>0 em (-\infty,-1).
    • Se -1<x<0 então x^{2}<1\Rightarrow x^{2}-1<0. Logo h'(x)<0 em (-1,0).
    • Se 0<x<1 então também x^{2}<1\Rightarrow x^{2}-1<0. Logo h'(x)<0 em (0,1).
    • Se x>1 então x^{2}>1\Rightarrow x^{2}-1>0. Logo h'(x)>0 em (1,\infty).
  • Resumo do sinal de h': + em (-\infty,-1), - em (-1,0), - em (0,1), + em (1,\infty).

Passo 11

Concluir a classificação em x=0 usando os sinais da derivada primeira.
  • Observação importante: à esquerda de 0 (no intervalo (-1,0)) temos h'<0; à direita de 0 (no intervalo (0,1)) também temos h'<0.
  • Ou seja, h' não muda de sinal em x=0: é negativo antes e depois de 0. Então x=0 não é nem máximo nem mínimo local.
  • Como adicionalmente vimos que h'' muda de sinal em x=0 (verificação: para pequenos x<0 com |x|<1/\sqrt{2}, h''(x)>0; para pequenos x>0 com |x|<1/\sqrt{2}, h''(x)<0), isso indica que x=0 é um ponto de inflexão com tangente horizontal (inflection point com derivada zero).
  • Confirmando: h(0)=3.

Passo 12

Resumo intuitivo (uma frase amigável para fixar):
  • Em x=-1 a função sobe antes e desce depois (troca +\to-), logo máximo local; em x=1 troca -\to+ logo mínimo local; em x=0 a função está decrescendo dos dois lados com tangente horizontal, portanto não é extremo, é um ponto de inflexão horizontal.

Resposta

(a) Pontos críticos: x=-1,\;x=0,\;x=1.
(b) Teste da Derivada Segunda: h''(1)=30>0 então x=1 é mínimo local; h''(-1)=-30<0 então x=-1 é máximo local; o teste falha em x=0 pois h''(0)=0 (inconclusivo).
(c) Teste da Derivada Primeira em x=0: h'(x) é negativo tanto à esquerda quanto à direita de 0 (não há troca de sinal), logo x=0 não é extremo — é um ponto de inflexão com tangente horizontal (valor h(0)=3).

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