2O pino segue o caminho dado pela equação mostrada (r=0,2+0,15 \cos \theta). No instante em que \theta=30^{\circ}, sabe-se que \dot{\theta}=0,7 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e \ddot{\theta}=0,5 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}. Determine:
a) o vetor que descreve a velocidade para esse instante;
b) o vetor que descreve a aceleração para esse instante;
c) o módulo da velocidade e o módulo da aceleração nesse instante.

Passo 1

O enunciado dá o caminho do pino em coordenadas polares e pede a velocidade e aceleração no instante indicado. Dados e pedidos (explicitados):
  • A posição radial é \displaystyle r(\theta)=0,2+0,15\cos\theta.
  • No instante considerado: \displaystyle \theta=30^\circ=\frac{\pi}{6}, \displaystyle \dot\theta=0,7\\ \mathrm{rad/s} e \displaystyle \ddot\theta=0,5\\ \mathrm{rad/s^2}.
  • Pedidos:
    a) o vetor velocidade \vec v naquele instante;
    b) o vetor aceleração \vec a naquele instante;
    c) os módulos |\vec v| e |\vec a| naquele instante.

Passo 2

Relembre (do jeito simples): em coordenadas polares o vetor posição é
\vec r = r\,\hat{e}_r,
onde r é a distância ao origem e \hat{e}_r é o versor radial. Os versores mudam com o tempo porque dependem de \theta. As derivadas temporais dos versores são
\dot{\hat{e}}_r=\dot\theta\,\hat{e}_\theta,\qquad \dot{\hat{e}}_\theta=-\dot\theta\,\hat{e}_r.
Isto significa que, quando \theta varia, parte da velocidade/ aceleração vem da variação de r e parte vem da rotação dos versores.

Passo 3

Derivando \vec r=r\hat{e}_r (regra do produto + derivadas dos versores) obtemos as fórmulas padrão (vou explicitar o que é cada termo):
\vec v=\dot r\,\hat{e}_r + r\dot\theta\,\hat{e}_\theta,
onde \dot r é a velocidade radial (m/s) e r\dot\theta é a componente transversal (m/s).
Derivando de novo,
\vec a=(\ddot r - r\dot\theta^2)\,\hat{e}_r + (r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta)\,\hat{e}_\theta.
Explicação dos termos:
  • \ddot r é a aceleração radial pura,
  • -r\dot\theta^2 é a componente centrípeta (aponta para o centro),
  • r\ddot\theta é a aceleração tangencial por variação angular,
  • 2\dot r\dot\theta é o termo de Coriolis (mistura variação radial com angular).

Passo 4

Precisamos de \dot r e \ddot r. Como r é função de \theta, usamos a regra da cadeia.
Primeiro derive em relação a \theta:
\frac{dr}{d\theta}=-0,15\sin\theta,\qquad \frac{d^2r}{d\theta^2}=-0,15\cos\theta.
Agora as derivadas temporais:
\dot r=\frac{dr}{d\theta}\,\dot\theta=-0,15\sin\theta\;\dot\theta,
\ddot r=\frac{d^2r}{d\theta^2}\,\dot\theta^2+\frac{dr}{d\theta}\,\ddot\theta=-0,15\cos\theta\;\dot\theta^2-0,15\sin\theta\;\ddot\theta.
Avaliamo tudo em \theta=\pi/6 (lembre que \sin\frac{\pi}{6}=\tfrac{1}{2}, \cos\frac{\pi}{6}=\tfrac{\sqrt3}{2}) e com \dot\theta=0,7, \ddot\theta=0,5:
Calcule r:
r=0,2+0,15\cos\frac{\pi}{6}=0,2+0,15\cdot\frac{\sqrt3}{2}=0,2+0,075\sqrt3\approx0,3299.
Calcule \dot r:
\dot r=-0,15\sin\frac{\pi}{6}\cdot0,7=-0,15\cdot\frac{1}{2}\cdot0,7=-0,075\cdot0,7=-0,0525\\ \mathrm{m/s}.
Calcule \ddot r:
\ddot r=-0,15\cos\frac{\pi}{6}\cdot(0,7)^2-0,15\sin\frac{\pi}{6}\cdot0,5=-0,075\sqrt3\cdot0,49-0,075\cdot0,5.
Numéricamente,
-0,075\sqrt3\cdot0,49\approx-0,06365,\qquad -0,075\cdot0,5=-0,0375,
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\ddot r\approx -0,06365-0,0375\approx -0,10115\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 5

Agora a velocidade: use \vec v=\dot r\,\hat{e}_r + r\dot\theta\,\hat{e}_\theta.
Temos \dot r=-0,0525 e r\dot\theta\approx0,3299038\cdot0,7\approx0,23093. Então
\vec v=-0,0525\,\hat{e}_r + 0,23093\,\hat{e}_\theta\quad (\mathrm{m/s}).

Passo 6

Agora a aceleração: use \vec a=(\ddot r - r\dot\theta^2)\,\hat{e}_r + (r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta)\,\hat{e}_\theta.
Calcule r\dot\theta^2:
r\dot\theta^2\approx0,3299038\cdot(0,7)^2=0,3299038\cdot0,49\approx0,16165.
Então a componente radial:
a_r=\ddot r - r\dot\theta^2\approx -0,10115-0,16165\approx -0,26280\\ \mathrm{m/s^2}.
Componente tangencial:
a_\theta=r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta\approx0,3299038\cdot0,5 + 2\cdot(-0,0525)\cdot0,7.
Calcule separadamente:
0,3299038\cdot0,5\approx0,16495,\qquad 2\cdot(-0,0525)\cdot0,7=-0,0735,
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a_\theta\approx0,16495-0,0735\approx0,09145\\ \mathrm{m/s^2}.
Portanto
\vec a\approx -0,26280\,\hat{e}_r + 0,09145\,\hat{e}_\theta\quad (\mathrm{m/s^2}).

Passo 7

Módulos (normas) dos vetores, lembrando que \hat{e}_r e \hat{e}_\theta são ortogonais, então
|\vec v|=\sqrt{\dot r^{\,2}+(r\dot\theta)^2}=\sqrt{(-0,0525)^2+(0,23093)^2}.
Cálculo:
(-0,0525)^2=0,00275625,\qquad (0,23093)^2\approx0,0533316,
|\vec v|\approx\sqrt{0,00275625+0,0533316}\approx\sqrt{0,05608785}\approx0,2369\\ \mathrm{m/s}.
Para a aceleração:
|\vec a|=\sqrt{a_r^{\,2}+a_\theta^{\,2}}=\sqrt{(-0,26280)^2+(0,09145)^2}.
Cálculo:
(-0,26280)^2\approx0,06905,\qquad (0,09145)^2\approx0,00837,
|\vec a|\approx\sqrt{0,06905+0,00837}\approx\sqrt{0,07742}\approx0,2782\\ \mathrm{m/s^2}.

Resposta

(a) \displaystyle \vec v\approx -0,0525\,\hat{e}_r + 0,23093\,\hat{e}_\theta\\ \mathrm{(m/s)}
(b) \displaystyle \vec a\approx -0,26280\,\hat{e}_r + 0,09145\,\hat{e}_\theta\\ \mathrm{(m/s^2)}
(c) \displaystyle |\vec v|\approx0,2369\\ \mathrm{m/s},\quad |\vec a|\approx0,2782\\ \mathrm{m/s^2}

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