2O pino segue o caminho dado pela equação mostrada
. No instante em que
, sabe-se que
e
. Determine:
a) o vetor que descreve a velocidade para esse instante;
b) o vetor que descreve a aceleração para esse instante;
c) o módulo da velocidade e o módulo da aceleração nesse instante.
a) o vetor que descreve a velocidade para esse instante;
b) o vetor que descreve a aceleração para esse instante;
c) o módulo da velocidade e o módulo da aceleração nesse instante.
Passo 1
O enunciado dá o caminho do pino em coordenadas polares e pede a velocidade e aceleração no instante indicado. Dados e pedidos (explicitados):
- A posição radial é
. - No instante considerado:
, e . - Pedidos:
a) o vetor velocidadenaquele instante;
b) o vetor aceleraçãonaquele instante;
c) os módulose naquele instante.
Passo 2
Relembre (do jeito simples): em coordenadas polares o vetor posição é
onde
é a distância ao origem e
é o versor radial. Os versores mudam com o tempo porque dependem de
. As derivadas temporais dos versores são
Isto significa que, quando
varia, parte da velocidade/ aceleração vem da variação de
e parte vem da rotação dos versores.
Passo 3
Derivando
(regra do produto + derivadas dos versores) obtemos as fórmulas padrão (vou explicitar o que é cada termo):
onde
é a velocidade radial (m/s) e
é a componente transversal (m/s).
Derivando de novo,
Derivando de novo,
Explicação dos termos:
-
é a aceleração radial pura, -
é a componente centrípeta (aponta para o centro), -
é a aceleração tangencial por variação angular, -
é o termo de Coriolis (mistura variação radial com angular).
Passo 4
Precisamos de
e
. Como
é função de
, usamos a regra da cadeia.
Primeiro derive em relação a :
Primeiro derive em relação a
Agora as derivadas temporais:
Avaliamo tudo em
(lembre que
,
) e com
,
:
Calcule
:
Calcule
:
Calcule
:
Numéricamente,
logo
Passo 5
Agora a velocidade: use
.
Temos
e
. Então
Passo 6
Agora a aceleração: use
.
Calcule
:
Então a componente radial:
Componente tangencial:
Calcule separadamente:
logo
Portanto
Passo 7
Módulos (normas) dos vetores, lembrando que
e
são ortogonais, então
Cálculo:
Para a aceleração:
Cálculo:
Resposta
(a)
(b)
(c)