Valor: 2,5
Um cilindro de 2 m de raio e 1 m de comprimento está situado ao longo do eixo
, centrado na origem e apresenta o potencial no seu interior dado por
.
Com base nessas informações determine, no ponto
,
a) O potencial (V);
b) A intensidade do campo elétrico (E);
c) A densidade do campo elétrico (D);
d) A densidade volumétrica de carga (
)
e) A carga total envolvida pelo cilindro.
Um cilindro de 2 m de raio e 1 m de comprimento está situado ao longo do eixo
a) O potencial (V);
b) A intensidade do campo elétrico (E);
c) A densidade do campo elétrico (D);
d) A densidade volumétrica de carga (
e) A carga total envolvida pelo cilindro.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede:
- Dados geométricos do cilindro:
- raio
; - comprimento
, centrado na origem ao longo do eixo , portanto .
- raio
- Potencial no interior do cilindro:
(Está explícito que essa expressão vale para o interior do cilindro.) - Ponto onde avaliar:
. Ou seja , , .
Perguntas:
a) Determinar o potencial em
.
b) Determinar a intensidade do campo elétrico em
.
c) Determinar a densidade do campo elétrico em
.
d) Determinar a densidade volumétrica de carga no interior (e em
).
e) Determinar a carga total envolvida pelo cilindro (integral volumétrica de sobre o cilindro).
a) Determinar o potencial
b) Determinar a intensidade do campo elétrico
c) Determinar a densidade do campo elétrico
d) Determinar a densidade volumétrica de carga
e) Determinar a carga total envolvida pelo cilindro (integral volumétrica de
Passo 2
Cálculo do potencial em
(item a).
Substituímos
e
na expressão dada. Lembrando que
.
Valor numérico aproximado:
Passo 3
Determinar o campo
a partir do potencial (item b): teoria e aplicação.
Teoria rápida (fórmula que vamos usar): o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial:
No sistema cilíndrico
a expressão do gradiente escalar é
onde
são os versores locais (unidades) das direções cilíndricas. Importante:
aparece porque a coordenada angular altera com
.
Agora calculamos as derivadas parciais da expressão dada:
Portanto
Logo
Avaliação em
:
,
.
Valores numéricos:
Portanto, no ponto
,
Passo 4
Densidade do campo elétrico
(item c).
Relação (material linear, assumimos vácuo/aire conforme não especificado):
Se nada foi informado, usamos a permissividade do vácuo
, com valor aproximado
.
Logo
Multiplicando componente a componente em
:
Portanto
Passo 5
Densidade volumétrica de carga
(item d): teoria e cálculo.
Teoria: a densidade volumétrica de carga no interior relaciona-se com
por
Como
, temos
Então precisamos do laplaciano de
em coordenadas cilíndricas:
Já calculamos
. Então
Derivando em
:
Portanto a primeira parcela do laplaciano é
Agora
: como
, segue
A parcela angular do laplaciano é então
A derivada em
é zero. Somando as duas parcelas dependentes de
vemos que elas se cancelam:
Assim
Logo a densidade volumétrica de carga é
Avaliação em
(
):
Passo 6
Carga total dentro do cilindro (item e): integração volumétrica.
Queremos
Usamos coordenadas cilíndricas:
e
. Então o produto
simplifica:
Portanto a integral é imediata (não depende de
após simplificação):
Os limites:
,
(logo
integra de
a
). Calculando:
Logo
Valor numérico (com
):
Observação física curta (apenas para entender): o sinal negativo indica carga volumétrica negativa média dentro do volume, consistente com
negativa encontrada.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) , em
:
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)