Valor: 2,5
Duas linhas uniformemente carregadas, com carga
cada, estão localizadas em
e
no vácuo. Se o potencial na origem é 100 V , encontre o potencial no ponto
.
Duas linhas uniformemente carregadas, com carga
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
- Duas linhas uniformemente carregadas, cada uma com densidade linear de carga
. - A primeira linha passa pelo ponto
(denotada ). - A segunda linha passa pelo ponto
(denotada ). - O potencial elétrico no ponto origem é
. - Pede-se o potencial no ponto
: ou seja, encontrar .
Informações importantes listadas (dados numéricos):
pontos na geometria:
contém
,
contém
, e
.
Passo 2
Observação geométrica e escolha do modelo (explicando por que):
- Cada linha é especificada por um único ponto no enunciado. O caso usual em problemas assim é que as linhas são retilíneas e infinitas, paralelas ao eixo
(ou seja, estendem-se em toda a direção ); o fato de os pontos dados terem coordenada qualquer apenas mostra que a linha passa por esse ponto. Vou, portanto, tratar cada linha como uma linha reta infinita paralela ao eixo passando pelas coordenadas correspondentes: em no plano e em no plano . - Esse modelo é compatível com o uso da fórmula do potencial de uma linha infinita de carga, e com o fato de termos um potencial de referência no ponto origem (assim evitamos divergências de constante de referência).
Passo 3
Fórmula básica (aula curta sobre o que vamos usar):
- Campo elétrico de uma linha infinita de densidade
(aqui ) a uma distância radial é
onde
é a permissividade do vácuo (
). Explicando:
aponta radialmente para fora (ou para dentro, dependendo do sinal de
) e decai como
.
- O potencial é obtido integrando
radialmente. Para duas distâncias e medidas perpendicularmente à linha,
- Isso significa que, para uma linha infinita, a diferença de potencial entre dois pontos depende apenas das suas distâncias perpendiculares
à linha, via um logaritmo. Importante: o sinal e a constante são esses acima; memorize ou derive rapidamente na prova desse mesmo jeito.
Passo 4
Superposição para duas linhas e expressão que usaremos:
- Por superposição, a contribuição total ao potencial é a soma das contribuições das duas linhas. Assim,
onde
-
é a distância perpendicular da origem à , -
é a distância perpendicular de à , -
e são as distâncias correspondentes para .
Passo 5
Cálculo das distâncias perpendiculares (a parte geométrica):
- Para uma linha paralela ao eixo
que passa pelo ponto , a distância perpendicular de um ponto à linha é simplesmente a distância no plano :
- Distâncias relativas à
(que passa por no plano ):
- Distâncias relativas à
(que passa por no plano ):
(Observação: peguei as coordenadas
das linhas dos pontos dados no enunciado.)
Passo 6
Substituição na fórmula e manipulação algébrica:
- Reescrevendo a expressão em forma compacta:
- Agora substituímos
, , e os calculados:
- Assim o argumento do logaritmo é
Passo 7
Cálculo numérico passo a passo (sem pular etapas):
- Primeiro o fator
:
(Interpretação: esse número tem dimensão de potencial; é a constante que multiplica o logaritmo.)
- Agora o logaritmo: calcule valores aproximados das raízes
- Multiplicando pelo fator:
Passo 8
Resultado final somando com o potencial de referência:
Arredondando de forma conveniente (duas ou três cifras significativas), obtemos aproximadamente
.