Valor: 2,5
Duas linhas uniformemente carregadas, com carga \rho_{L}=8 \mathrm{nC} / \mathrm{m} cada, estão localizadas em \mathrm{L}_{1}(1,0,2) e \mathrm{L}_{2}(-1,2,0) no vácuo. Se o potencial na origem é 100 V , encontre o potencial no ponto \mathrm{P}(4,1,3).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Duas linhas uniformemente carregadas, cada uma com densidade linear de carga \rho_{L}=8\\ \mathrm{nC/m}.
  • A primeira linha passa pelo ponto (1,0,2) (denotada \mathrm{L}_1).
  • A segunda linha passa pelo ponto (-1,2,0) (denotada \mathrm{L}_2).
  • O potencial elétrico no ponto origem é V(\text{origem})=100\\ \mathrm{V}.
  • Pede-se o potencial no ponto P(4,1,3): ou seja, encontrar V(P).
Informações importantes listadas (dados numéricos):
\rho_{L}=8\\ \mathrm{nC/m}=8\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m},\qquad V(0,0,0)=100\\ \mathrm{V},
pontos na geometria: \mathrm{L}_1 contém (1,0,2), \mathrm{L}_2 contém (-1,2,0), e P=(4,1,3).

Passo 2

Observação geométrica e escolha do modelo (explicando por que):
  • Cada linha é especificada por um único ponto no enunciado. O caso usual em problemas assim é que as linhas são retilíneas e infinitas, paralelas ao eixo z (ou seja, estendem-se em toda a direção z); o fato de os pontos dados terem coordenada z qualquer apenas mostra que a linha passa por esse ponto. Vou, portanto, tratar cada linha como uma linha reta infinita paralela ao eixo z passando pelas coordenadas (x,y) correspondentes: \mathrm{L}_1 em (1,0) no plano xy e \mathrm{L}_2 em (-1,2) no plano xy.
  • Esse modelo é compatível com o uso da fórmula do potencial de uma linha infinita de carga, e com o fato de termos um potencial de referência no ponto origem (assim evitamos divergências de constante de referência).

Passo 3

Fórmula básica (aula curta sobre o que vamos usar):
  • Campo elétrico de uma linha infinita de densidade \lambda (aqui \lambda=\rho_{L}) a uma distância radial r é
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}r},
onde \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_{0}\approx8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}). Explicando: E(r) aponta radialmente para fora (ou para dentro, dependendo do sinal de \lambda) e decai como 1/r.
  • O potencial é obtido integrando -\mathbf{E}\cdot d\mathbf{r} radialmente. Para duas distâncias r_a e r_b medidas perpendicularmente à linha,
V(r_b)-V(r_a)=-\int_{r_a}^{r_b} E(r)\,dr=-\int_{r_a}^{r_b}\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}r}\,dr=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln\!\left(\frac{r_a}{r_b}\right).
  • Isso significa que, para uma linha infinita, a diferença de potencial entre dois pontos depende apenas das suas distâncias perpendiculares r à linha, via um logaritmo. Importante: o sinal e a constante são esses acima; memorize ou derive rapidamente na prova desse mesmo jeito.

Passo 4

Superposição para duas linhas e expressão que usaremos:
  • Por superposição, a contribuição total ao potencial é a soma das contribuições das duas linhas. Assim,
V(P)=V(0)+\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}}\left[\ln\!\left(\frac{r_{1,0}}{r_{1,P}}\right)+\ln\!\left(\frac{r_{2,0}}{r_{2,P}}\right)\right],
onde
  • r_{1,0} é a distância perpendicular da origem à \mathrm{L}_1,
  • r_{1,P} é a distância perpendicular de P à \mathrm{L}_1,
  • r_{2,0} e r_{2,P} são as distâncias correspondentes para \mathrm{L}_2.

Passo 5

Cálculo das distâncias perpendiculares (a parte geométrica):
  • Para uma linha paralela ao eixo z que passa pelo ponto (x_0,y_0), a distância perpendicular de um ponto (x,y,z) à linha é simplesmente a distância no plano xy:
r=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}.
  • Distâncias relativas à \mathrm{L}_1 (que passa por (1,0) no plano xy):
r_{1,0}=\sqrt{(0-1)^2+(0-0)^2}=\sqrt{1}=1,
r_{1,P}=\sqrt{(4-1)^2+(1-0)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}.
  • Distâncias relativas à \mathrm{L}_2 (que passa por (-1,2) no plano xy):
r_{2,0}=\sqrt{(0+1)^2+(0-2)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5},
r_{2,P}=\sqrt{(4+1)^2+(1-2)^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}.
(Observação: peguei as coordenadas (x,y) das linhas dos pontos dados no enunciado.)

Passo 6

Substituição na fórmula e manipulação algébrica:
  • Reescrevendo a expressão em forma compacta:
V(P)=V(0)+\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln\!\left(\frac{r_{1,0}r_{2,0}}{r_{1,P}r_{2,P}}\right).
  • Agora substituímos \lambda=\rho_{L}=8\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m}, \varepsilon_{0}\approx8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}, e os r calculados:
r_{1,0}r_{2,0}=1\cdot\sqrt{5}=\sqrt{5},
r_{1,P}r_{2,P}=\sqrt{10}\cdot\sqrt{26}=\sqrt{260}.
  • Assim o argumento do logaritmo é
\frac{r_{1,0}r_{2,0}}{r_{1,P}r_{2,P}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{260}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4\cdot65}}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{65}}.

Passo 7

Cálculo numérico passo a passo (sem pular etapas):
  • Primeiro o fator \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}}:
2\pi\varepsilon_{0}\approx 2\pi(8{,}854187817\times10^{-12})\approx 5{,}567\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.
\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}}=\frac{8\times10^{-9}}{5{,}567\times10^{-11}}\approx 143{,}75\\ \mathrm{V}.
(Interpretação: esse número tem dimensão de potencial; é a constante que multiplica o logaritmo.)
  • Agora o logaritmo: calcule valores aproximados das raízes
\sqrt{5}\approx2{,}23607,\qquad \sqrt{10}\approx3{,}16228,\qquad \sqrt{26}\approx5{,}09902.
\frac{r_{1,0}r_{2,0}}{r_{1,P}r_{2,P}}=\frac{2{,}23607}{3{,}16228\cdot5{,}09902}=\frac{2{,}23607}{16{,}1245}\approx0{,}13867.
\ln(0{,}13867)\approx -1{,}9742.
  • Multiplicando pelo fator:
\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln\!\left(\frac{r_{1,0}r_{2,0}}{r_{1,P}r_{2,P}}\right)\approx 143{,}75\times(-1{,}9742)\approx -283{,}9\\ \mathrm{V}.

Passo 8

Resultado final somando com o potencial de referência:
V(P)=V(0)+\text{(contribuição)}=100\\ \mathrm{V}+(-283{,}9\\ \mathrm{V})\approx -183{,}9\\ \mathrm{V}.çã
Arredondando de forma conveniente (duas ou três cifras significativas), obtemos aproximadamente -184\\ \mathrm{V}.

Resposta

-184\\ \mathrm{V}

Exercícios relacionados