(2p) Um elétron de carga -1,6 \times 10^{-19} \mathrm{C} e de massa 9,1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} tem velocidade \mathbf{v}=\left(1,0 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}\right) i e penetra num campo magnético \mathbf{B}=(0,1 \mathrm{~T}) \mathbf{j}. Determine o vetor força sobre o elétron e o vetor aceleração.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: o vetor força sobre o elétron e o vetor aceleração desse elétron.
As informações dadas são:
\mathbf{v}=(1,0\times10^{5}\\ \mathrm{m/s})\,\mathbf{i} (ou seja, velocidade puramente na direção \mathbf{i} com magnitude 1,0\times10^{5}\\ \mathrm{m/s});
\mathbf{B}=(0,1\\ \mathrm{T})\,\mathbf{j} (ou seja, campo magnético puramente na direção \mathbf{j} com magnitude 0,1\\ \mathrm{T});
carga do elétron q=-1,6\times10^{-19}\\ \mathrm{C};
massa do elétron m=9,1\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
A partir disso queremos calcular \mathbf{F} e \mathbf{a}.

Passo 2

Fórmula física que usamos: a força magnética sobre uma carga em movimento é dada pela lei de Lorentz (somente a parte magnética aqui):
\mathbf{F}=q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}.
Explicando a operação \times: é o produto vetorial (cross product). Para vetores em coordenadas cartesianas \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) e \mathbf{B}=(B_x,B_y,B_z) o produto vetorial tem componentes
\mathbf{v}\times\mathbf{B}=\big(v_yB_z-v_zB_y\big)\,\mathbf{i}+\big(v_zB_x-v_xB_z\big)\,\mathbf{j}+\big(v_xB_y-v_yB_x\big)\,\mathbf{k}.
Vou aplicar essa fórmula passo a passo com as componentes dadas.

Passo 3

Identifico as componentes dos vetores a partir dos dados:
v_x=1,0\times10^{5}\\ \mathrm{m/s},\quad v_y=0,\quad v_z=0,
B_x=0,\quad B_y=0,1\\ \mathrm{T},\quad B_z=0.
Agora calculo cada componente de \mathbf{v}\times\mathbf{B}:
Componente \mathbf{i}:
v_yB_z-v_zB_y=0\cdot0-0\cdot(0,1)=0.
Componente \mathbf{j}:
v_zB_x-v_xB_z=0\cdot0-(1,0\times10^{5})\cdot0=0.
Componente \mathbf{k}:
v_xB_y-v_yB_x=(1,0\times10^{5})\cdot(0,1)-0\cdot0=1,0\times10^{4}.
Portanto
\mathbf{v}\times\mathbf{B}=(0,0,1,0\times10^{4})=1,0\times10^{4}\,\mathbf{k}.

Passo 4

Agora multiplico pelo sinal e valor da carga para obter a força:
\mathbf{F}=q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}=(-1,6\times10^{-19})\cdot(1,0\times10^{4}\,\mathbf{k}).
Multiplicando mantissas e potências de dez:
-1,6\times10^{-19}\times1,0\times10^{4}=-1,6\times10^{-15}.
Logo
\mathbf{F}=-1,6\times10^{-15}\,\mathbf{k}\\ \mathrm{N}.
Interpretação física: a força aponta na direção negativa de \mathbf{k} (isto é, eixo z negativo) porque a carga é negativa; se fosse positiva, seria para +\mathbf{k}.

Passo 5

Cálculo da aceleração usando a segunda lei de Newton:
\mathbf{a}=\frac{\mathbf{F}}{m}.
Substituo os valores numéricos:
\mathbf{a}=\frac{-1,6\times10^{-15}\,\mathbf{k}}{9,1\times10^{-31}}.
Faço a divisão em duas partes: razão das mantissas e diferença dos expoentes
\frac{1,6}{9,1}\approx0,175824\quad\text{e}\quad10^{-15-(-31)}=10^{16}.
Multiplicando:
0,175824\times10^{16}=1,75824\times10^{15}.
Com o sinal negativo herdado da força:
\mathbf{a}\approx-1,76\times10^{15}\,\mathbf{k}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
(Arredondei para três dígitos significativos, que já é mais do que suficiente para uma prova.)

Passo 6

Resumo interpretativo rápido e motivador: a força magnética é perpendicular tanto à velocidade quanto ao campo (isso sempre acontece com \mathbf{v}\times\mathbf{B}); para o elétron, por ter carga negativa, o sentido fica invertido. A aceleração resultante tem magnitude enorme porque a massa do elétron é muito pequena — isso é normal. Você consegue reproduzir esses passos na prova: 1) escreva \mathbf{F}=q\mathbf{v}\times\mathbf{B}; 2) coloque componentes; 3) calcule produto vetorial; 4) multiplique por q; 5) divida por m.

Resposta

\mathbf{F}=-1,6\times10^{-15}\,\mathbf{k}\\ \mathrm{N}
\mathbf{a}=-1,76\times10^{15}\,\mathbf{k}\\ \mathrm{m/s^{2}}

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