(2p) Considere dois fios paralelos longos e finos, separados por uma distância d. O primeiro fio tem corrente i_{1}=i e o segundo fio tem corrente i_{2}=2 i, ambas no mesmo sentido. Em que ponto ao longo da reta que passa pelos dois fios teremos o campo magnético nulo? É permitido partir de B=\mu_{0} i /(2 \pi r) para calcular as intensidades dos campos nesta questão.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dados: dois fios paralelos longos e finos, separados por uma distância \,d.
  • Correntes: o primeiro fio tem corrente \,i_{1}=i e o segundo fio tem corrente \,i_{2}=2i, ambas no mesmo sentido.
  • Fórmula permitida: a intensidade do campo magnético gerado por um fio retilíneo longo é \displaystyle B=\frac{\mu_{0}\,i}{2\pi r}, onde \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo e r é a distância do ponto ao fio.
  • Pedido: determiner o ponto ao longo da reta que passa pelos dois fios onde o campo magnético resultante é nulo (ou seja, onde os campos das duas correntes se cancelam).

Passo 2

Escolhemos um sistema de referência simples para calcular. Coloque o fio 1 (corrente \,i) na posição x=0 e o fio 2 (corrente \,2i) na posição x=d ao longo da reta que os une. Sejam os pontos entre os fios com coordenada x, medidos a partir do fio 1 em direção ao fio 2; ou seja, 0<x<d indica um ponto entre os fios.

Antes de escrever equações, precisamos saber a direção dos campos magnéticos produzidos por cada fio nesse ponto. Use a regra da mão direita: passando o polegar na direção da corrente, os dedos enrolam indicando a direção do campo circular ao redor do fio. Para dois fios com correntes no mesmo sentido, no segmento entre eles os campos das duas correntes apontam em sentidos opostos (um “para dentro” e outro “para fora” ao longo dessa reta), portanto existe a possibilidade de cancelamento entre os dois campos dentro do intervalo 0<x<d.

Isso significa que podemos procurar um ponto entre os fios onde as magnitudes dos campos gerados por cada fio sejam iguais, já que então, por terem sentidos opostos, se anulam.

Passo 3

Agora escrevemos as expressões das magnitudes dos campos magnéticos no ponto a uma distância x do fio 1 e, consequentemente, a distância (d-x) do fio 2.

Campo devido ao fio 1 (corrente \,i) em distância x:
B_{1}=\frac{\mu_{0}\,i}{2\pi x}.
Campo devido ao fio 2 (corrente \,2i) em distância (d-x):
B_{2}=\frac{\mu_{0}\,(2i)}{2\pi (d-x)}=\frac{\mu_{0}\,i}{\pi (d-x)}.

Passo 4

Como observado no Passo 2, entre os fios os campos têm sentidos opostos; para fazer o campo resultante zero devemos ter magnitudes iguais:
B_{1}=B_{2}.
Substituindo as expressões:
\frac{\mu_{0}\,i}{2\pi x}=\frac{\mu_{0}\,i}{\pi (d-x)}.
Agora simplificamos passo a passo. Primeiro podemos cancelar \mu_{0} e i dos dois lados (são não nulos):
\frac{1}{2\pi x}=\frac{1}{\pi (d-x)}.
Multiplicamos ambos os lados por \pi para simplificar:
\frac{1}{2 x}=\frac{1}{d-x}.
Agora resolvemos essa equação para x. Invertendo ambos os lados ou fazendo produto cruzado:
d-x=2x.
Somando x aos dois lados:
d=3x.
Logo:
x=\frac{d}{3}.

Passo 5

Interpretando o resultado: o ponto onde o campo magnético é nulo fica a uma distância \displaystyle x=\frac{d}{3} do fio 1 (o que tem corrente \,i), e portanto a uma distância \displaystyle d-x=\frac{2d}{3} do fio 2 (o que tem corrente \,2i).

Sobre unicidade: não há outro ponto ao longo da reta entre os fios que satisfaça a condição — esta equação linear em x deu solução única dentro de 0<x<d. Fora do segmento entre os fios (à esquerda de x=0 ou à direita de x=d) os campos das duas correntes têm o mesmo sentido e não podem se anular por terem sinais iguais, portanto não existem pontos de cancelamento nessas regiões.

Resposta

O campo magnético é nulo no ponto situado a uma distância \dfrac{d}{3} do fio com corrente \,i (ou seja, a \dfrac{2d}{3} do fio com corrente \,2i).

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