Qual grandeza física têm o mesmo valor em capacitores ligados em série? E qual a relação entre a capacitância de cada capacitor e a capacitância equivalente de uma associação em série?
Passo 1
O enunciado pergunta duas coisas simples sobre capacitores ligados em série:
- Qual grandeza física tem o mesmo valor em todos os capacitores quando estão ligados em série?
- Qual é a relação entre as capacitâncias individuais
e a capacitância equivalente de uma associação em série?
Informações dadas (implícitas no enunciado):
- Temos dois ou mais capacitores conectados em série (um após o outro).
- Procuramos a grandeza comum a todos e a fórmula que dá a capacitância equivalente da associação.
Passo 2
Primeiro, relembrar o que é um capacitor e a sua definição básica: um capacitor armazena carga elétrica separando cargas positivas e negativas em duas placas. A grandeza que mede a “capacidade de armazenar carga” é a capacitância, definida por
onde:
-
é a carga elétrica armazenada (em coulombs), -
é a capacitância (em farads), -
é a diferença de potencial (tensão) entre as placas (em volts).
Expliquei a fórmula: para um capacitor ideal, a carga é proporcional à tensão aplicada; a constante de proporcionalidade é
.
Passo 3
Agora vamos pensar num conjunto de capacitores em série. Para ser concreto, imagine dois capacitores
e
ligados em série entre os terminais de uma bateria. Denotamos as tensões nos capacitores por
e
. A tensão total entre os terminais da associação é
Esse fato vem da propriedade dos potenciais elétricos ao percorrer um caminho: as quedas de potencial somam.
Passo 4
Por que a carga é a mesma em cada capacitor? Vou explicar passo a passo, sem pular etapas (jeito de amigo paciente):
- Antes da ligação, cada placa metálica está eletricamente neutra (carga zero).
- Quando conectamos a associação a uma bateria, elétrons são empurrados de um terminal para o outro: por exemplo, a bateria retira elétrons da placa externa ligada ao pólo positivo e deposita elétrons na placa externa ligada ao pólo negativo.
- Isso cria uma carga
na placa externa ligada ao pólo positivo e uma carga na placa externa ligada ao pólo negativo. - As placas internas que ficam entre capacitores trocam carga entre si: se uma placa interna perde elétrons e fica com carga
, a placa oposta que está no outro lado dessa “junta” ganha exatamente , porque cargas não se perdem — conservação de carga local. Então cada par de placas adjacentes (o “ponto de contato” entre capacitores) tem cargas iguais em magnitude e opostas em sinal. - No regime permanente (quando tudo já estabilizou), cada capacitor terá cargas nas suas placas com a mesma magnitude
. Logo, a magnitude da carga armazenada em cada capacitor em série é a mesma.
Conclusão deste passo: em associação em série a grandeza que é igual em todos os capacitores é a carga elétrica
(mesma magnitude em cada capacitor).
Passo 5
Agora usemos a relação básica
para cada capacitor. Para o capacitor
temos
pois a carga
é a mesma para todos. A tensão total é a soma das tensões parciais, logo
Passo 6
Definimos a capacitância equivalente
da associação por
Comparando com a soma obtida no passo anterior,
Se
, podemos dividir os dois lados por
e obtemos a relação fundamental para capacitores em série:
Essa é a fórmula geral: as recíprocas das capacitâncias somam para dar a recíproca da capacitância equivalente.
Passo 7
Para o caso simples de dois capacitores
e
em série, a soma de recíprocos dá
Invertendo, obtemos a forma prática frequentemente usada:
Isso mostra que a capacitância equivalente de capacitores em série é sempre menor que a menor das capacitâncias individuais (intuitivamente: ligar em série dificulta armazenar carga total).
Passo 8
Pequena verificação numérica (exemplo pedagógico): se
e
,
logo
Isso ilustra que
ficou menor que
, o menor dos dois.
Resposta
A carga elétrica
(mesma magnitude armazenada em cada capacitor da associação em série).
Para dois capacitores: