Qual grandeza física têm o mesmo valor em capacitores ligados em série? E qual a relação entre a capacitância de cada capacitor e a capacitância equivalente de uma associação em série?

Passo 1

O enunciado pergunta duas coisas simples sobre capacitores ligados em série:
  1. Qual grandeza física tem o mesmo valor em todos os capacitores quando estão ligados em série?
  2. Qual é a relação entre as capacitâncias individuais C_i e a capacitância equivalente C_{\text{eq}} de uma associação em série?
Informações dadas (implícitas no enunciado):
  • Temos dois ou mais capacitores conectados em série (um após o outro).
  • Procuramos a grandeza comum a todos e a fórmula que dá a capacitância equivalente da associação.

Passo 2

Primeiro, relembrar o que é um capacitor e a sua definição básica: um capacitor armazena carga elétrica separando cargas positivas e negativas em duas placas. A grandeza que mede a “capacidade de armazenar carga” é a capacitância, definida por
Q = C\,V,
onde:
  • \;Q\; é a carga elétrica armazenada (em coulombs),
  • \;C\; é a capacitância (em farads),
  • \;V\; é a diferença de potencial (tensão) entre as placas (em volts).
Expliquei a fórmula: para um capacitor ideal, a carga é proporcional à tensão aplicada; a constante de proporcionalidade é C.

Passo 3

Agora vamos pensar num conjunto de capacitores em série. Para ser concreto, imagine dois capacitores C_1 e C_2 ligados em série entre os terminais de uma bateria. Denotamos as tensões nos capacitores por V_1 e V_2. A tensão total entre os terminais da associação é
V_{\text{total}} = V_1 + V_2.
Esse fato vem da propriedade dos potenciais elétricos ao percorrer um caminho: as quedas de potencial somam.

Passo 4

Por que a carga é a mesma em cada capacitor? Vou explicar passo a passo, sem pular etapas (jeito de amigo paciente):
  • Antes da ligação, cada placa metálica está eletricamente neutra (carga zero).
  • Quando conectamos a associação a uma bateria, elétrons são empurrados de um terminal para o outro: por exemplo, a bateria retira elétrons da placa externa ligada ao pólo positivo e deposita elétrons na placa externa ligada ao pólo negativo.
  • Isso cria uma carga +Q na placa externa ligada ao pólo positivo e uma carga -Q na placa externa ligada ao pólo negativo.
  • As placas internas que ficam entre capacitores trocam carga entre si: se uma placa interna perde elétrons e fica com carga +q, a placa oposta que está no outro lado dessa “junta” ganha exatamente -q, porque cargas não se perdem — conservação de carga local. Então cada par de placas adjacentes (o “ponto de contato” entre capacitores) tem cargas iguais em magnitude e opostas em sinal.
  • No regime permanente (quando tudo já estabilizou), cada capacitor terá cargas nas suas placas com a mesma magnitude Q. Logo, a magnitude da carga armazenada em cada capacitor em série é a mesma.
Conclusão deste passo: em associação em série a grandeza que é igual em todos os capacitores é a carga elétrica \;Q\; (mesma magnitude em cada capacitor).

Passo 5

Agora usemos a relação básica Q = C\,V para cada capacitor. Para o capacitor i temos
V_i = \frac{Q}{C_i},
pois a carga Q é a mesma para todos. A tensão total é a soma das tensões parciais, logo
V_{\text{total}} = \sum_{i} V_i = \sum_{i} \frac{Q}{C_i}.

Passo 6

Definimos a capacitância equivalente C_{\text{eq}} da associação por
V_{\text{total}} = \frac{Q}{C_{\text{eq}}}.
Comparando com a soma obtida no passo anterior,
\frac{Q}{C_{\text{eq}}} = Q \sum_{i} \frac{1}{C_i}.
Se Q\neq 0, podemos dividir os dois lados por Q e obtemos a relação fundamental para capacitores em série:
\boxed{\displaystyle \frac{1}{C_{\text{eq}}} \;=\; \sum_{i} \frac{1}{C_i}.}
Essa é a fórmula geral: as recíprocas das capacitâncias somam para dar a recíproca da capacitância equivalente.

Passo 7

Para o caso simples de dois capacitores C_1 e C_2 em série, a soma de recíprocos dá
\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{C_1 + C_2}{C_1 C_2}.
Invertendo, obtemos a forma prática frequentemente usada:
\boxed{\displaystyle C_{\text{eq}} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}.}
Isso mostra que a capacitância equivalente de capacitores em série é sempre menor que a menor das capacitâncias individuais (intuitivamente: ligar em série dificulta armazenar carga total).

Passo 8

Pequena verificação numérica (exemplo pedagógico): se C_1 = 2\,\mu\text{F} e C_2 = 3\,\mu\text{F},
\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}\;(\mu\text{F})^{-1},
logo
C_{\text{eq}} = \frac{6}{5} = 1{,}2\,\mu\text{F}.
Isso ilustra que C_{\text{eq}} ficou menor que 2\,\mu\text{F}, o menor dos dois.

Resposta

A carga elétrica \;Q\; (mesma magnitude armazenada em cada capacitor da associação em série).
\frac{1}{C_{\text{eq}}}=\sum_{i}\frac{1}{C_i}.
Para dois capacitores:
C_{\text{eq}}=\frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}.

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