(2p) Uma espira circular condutora, de raio 10,0 \mathrm{~cm}, transporta uma corrente de 2,0 \mathrm{~A}. L’m vetor unitário \boldsymbol{n}, paralelo ao momento de dipolo \boldsymbol{\mu} da espira, é dado por \boldsymbol{n}=0,60 \mathbf{i}+0,80 \mathbf{j}. A espira está imersa num campo magnético dado por \mathbf{B}=(0,25 \mathrm{~T}) i. Determine (a) o vetor torque sobre a espira (usando notação vetorial) e (b) a energia potencial magnética do sistema campo - espira.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) o vetor torque sobre a espira;
  • (b) a energia potencial magnética do sistema campo–espira.
Informações fornecidas (vou listar tudo que o enunciado deu):
\text{raio: } r = 10{,}0\\ \mathrm{cm} = 0{,}10\\ \mathrm{m}
\text{corrente: } I = 2{,}0\\ \mathrm{A}
\text{vetor unitário paralelo ao momento de dipolo: } \boldsymbol{n} = 0{,}60\,\mathbf{i} + 0{,}80\,\mathbf{j}á
\text{campo magnético: } \mathbf{B} = (0{,}25\\ \mathrm{T})\,\mathbf{i}é
O que precisamos encontrar:
  • (a) \boldsymbol{\tau} (vetor torque sobre a espira);
  • (b) U (energia potencial magnética do sistema).

Passo 2

Vamos lembrar a definição do momento de dipolo magnético \boldsymbol{\mu} de uma espira circular: a magnitude é dada por \mu = I\,A, e o vetor aponta na direção do vetor unitário \boldsymbol{n}. Aqui:
  • I é a corrente elétrica na espira;
  • A é a área da espira;
  • \boldsymbol{n} é o vetor unitário que indica a orientação do momento de dipolo (direção dada pelo enunciado).
Primeiro calculamos a área da espira, que para um círculo é
A = \pi r^{2}.
Substituindo r = 0{,}10\\ \mathrm{m}:
A = \pi (0{,}10)^{2} = \pi (0{,}01) = 0{,}01\pi\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 3

Agora a magnitude do momento de dipolo:
\mu = I\,A = 2{,}0 \times 0{,}01\pi = 0{,}02\pi\\ \mathrm{A\cdot m^{2}}.
Se quisermos um valor aproximado:
\mu \approx 0{,}02\pi \approx 0{,}06283\\ \mathrm{A\cdot m^{2}}.
Formamos o vetor \boldsymbol{\mu} usando \boldsymbol{n}:
\boldsymbol{\mu} = \mu\,\boldsymbol{n} = (0{,}02\pi)\,(0{,}60\,\mathbf{i} + 0{,}80\,\mathbf{j}).
Calculando componentes (exatas em termos de \pi e aproximadas):
\mu_x = 0{,}02\pi \times 0{,}60 = 0{,}012\pi \approx 0{,}03770\\ \mathrm{A\cdot m^{2}},
\mu_y = 0{,}02\pi \times 0{,}80 = 0{,}016\pi \approx 0{,}05027\\ \mathrm{A\cdot m^{2}},
\mu_z = 0.
Então
\boldsymbol{\mu} = (0{,}012\pi)\,\mathbf{i} + (0{,}016\pi)\,\mathbf{j} + 0\,\mathbf{k}.

Passo 4

Fórmula do torque magnético sobre um dipolo num campo magnético:
\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{\mu} \times \mathbf{B}.
Aqui \mathbf{B} = 0{,}25\,\mathbf{i}. Para efetuar o produto vetorial, uso as componentes de \boldsymbol{\mu} e \mathbf{B}. Escrevendo
\boldsymbol{\mu} = (\mu_x,\mu_y,\mu_z),\quad \mathbf{B}=(B_x,B_y,B_z)=(0{,}25,0,0),
o produto vetorial tem componentes
\tau_x = \mu_y B_z - \mu_z B_y,
\tau_y = \mu_z B_x - \mu_x B_z,
\tau_z = \mu_x B_y - \mu_y B_x.
Substituindo os valores:
\tau_x = (0{,}016\pi)\cdot 0 - 0\cdot 0 = 0,
\tau_y = 0\cdot 0{,}25 - (0{,}012\pi)\cdot 0 = 0,
\tau_z = (0{,}012\pi)\cdot 0 - (0{,}016\pi)\cdot 0{,}25 = -0{,}004\pi.
Assim, o torque é
\boldsymbol{\tau} = 0\,\mathbf{i} + 0\,\mathbf{j} - 0{,}004\pi\,\mathbf{k}\\ \mathrm{N\cdot m}.
Valor numérico aproximado:
\tau_z \approx -0{,}004\pi \approx -0{,}01257\\ \mathrm{N\cdot m}.
Interpretação rápida: o torque aponta na direção negativa de \mathbf{k} (sentido -\mathbf{k}).

Passo 5

Fórmula da energia potencial magnética de um dipolo num campo uniforme:
U = -\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B}.
Calculamos o produto escalar:
\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B} = \mu_x B_x + \mu_y B_y + \mu_z B_z.
Como B_y=B_z=0, fica
\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B} = (0{,}012\pi)\cdot 0{,}25 + (0{,}016\pi)\cdot 0 + 0\cdot 0 = 0{,}003\pi.
Logo
U = -0{,}003\pi\\ \mathrm{J}.
Valor numérico aproximado:
U \approx -0{,}003\pi \approx -0{,}009425\\ \mathrm{J}.

Resposta

\boldsymbol{\tau} = -0{,}004\pi\,\mathbf{k}\\ \mathrm{N\cdot m} (isto é, \approx (0,0,-0{,}0126)\\ \mathrm{N\cdot m})
U = -0{,}003\pi\\ \mathrm{J} (isto é, \approx -0{,}00942\\ \mathrm{J})

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