Q5 - [2p] Uma viga circular, sem entalhe, solicitada sob tração, suporta uma força de 10 tonf quando ocorre a ruptura.
Introduziu-se um entalhe circular cujo fator de concentração de tensão =2. A área na seção do entalhe é inferior à área transversal do restante do eixo, conforme desenho no quadro. Qual a nova força máxima que tal viga suporta sem romper de:
a) Material dúctil
b) Material frágil
Indique seus cálculos.

Passo 1

O enunciado diz que originalmente, sem entalhe, a viga de seção circular suporta até
F_{\rm rup}=10\\ \text{tonf}
quando rompe. A área original da seção é A. Introduzindo-se um entalhe circular, a área líquida nessa seção passa a ser
A_n<A.
O fator de concentração de tensão no entalhe é K_t=2.
Pede-se a nova carga máxima que a viga suporta sem romper em dois casos:
a) material dúctil
b) material frágil
Para resolver, precisamos da tensão de ruptura original
\sigma_u=\frac{F_{\rm rup}}{A}
e aplicar as regras de falha para entalhe em materiais dúcteis e frágeis.

Passo 2

Calculemos a tensão de ruptura original da viga sem entalhe:
\sigma_u=\frac{10\\ \text{tonf}}{A}.

Passo 3

Material dúctil falha quando a tensão nominal na seção líquida alcança \sigma_u. Nesse caso o entalhe, embora gere concentração de tensão, desenvolve zona plástica e a carga de ruptura é dada por
F_d=\sigma_u\,A_n =\frac{10}{A}\,A_n =10\;\frac{A_n}{A}\\ \text{tonf}.

Passo 4

Material frágil falha quando a tensão máxima local no entalhe atinge \sigma_u. A tensão máxima é
\sigma_{\max} =K_t\;\sigma_{\rm nom} =K_t\;\frac{F}{A_n}.
Impondo \sigma_{\max}=\sigma_u e resolvendo para F, temos
K_t\;\frac{F_f}{A_n} =\frac{10}{A} \quad\longrightarrow\quad F_f =\frac{10}{A}\;\frac{A_n}{K_t} =10\;\frac{A_n}{A}\;\frac{1}{2} =5\;\frac{A_n}{A}\\ \text{tonf}.

Resposta

a) Material dúctil:
F_d=10\,\frac{A_n}{A}\\ \text{tonf}.
b) Material frágil:
F_f=5\,\frac{A_n}{A}\\ \text{tonf}.

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