[2p] Um componente opera com tensão de trabalho de 250 Mpa e, para esta tensão, admite um comprimento crítico de trinca de 5 mm . Detectou-se a presença de uma trinca de 3 mm neste componente, mas não é possível fazer uma parada imediata para manutenção (remoção da trinca ou troca de componente). Sugeriu-se que o componente passasse a trabalhar com 125 Mpa . Qual novo comprimento crítico de trinca admissível para esta nova tensão de trabalho? Justifique sua resposta. Considere o fator geométrico igual a 1 .

Passo 1

O enunciado diz que temos um componente com tensão de trabalho \sigma_1 = 250\,\text{MPa} que admite um comprimento crítico de trinca a_1 = 5\,\text{mm}. Após detectar uma trinca de 3\,\text{mm} sem possibilidade de manutenção imediata, a tensão proposta passa a ser \sigma_2 = 125\,\text{MPa}. Vamos usar mecânica da fratura para encontrar o novo comprimento crítico a_2.

Passo 2

Na mecânica da fratura linear elástica, o fator de intensidade de tensões crítico K_{IC} é dado por
K_{IC} = \sigma \,Y\,\sqrt{\pi\,a_c},
onde Y é o fator geométrico. Como K_{IC} é constante do material e aqui Y=1, simplificamos para
K_{IC} = \sigma\,\sqrt{\pi\,a_c}.

Passo 3

Igualamos as duas condições críticas (para as tensões \sigma_1 e \sigma_2):
\sigma_1 \,\sqrt{\pi\,a_1} = \sigma_2 \,\sqrt{\pi\,a_2}.
Cancelando \sqrt{\pi} de ambos os lados e isolando a_2, temos
a_2 = \Bigl(\frac{\sigma_1}{\sigma_2}\Bigr)^{2}\,a_1.

Passo 4

Substituindo \sigma_1 = 250\,\text{MPa}, \sigma_2 = 125\,\text{MPa} e a_1 = 5\,\text{mm} obtemos
a_2 = \Bigl(\frac{250}{125}\Bigr)^{2}\times 5\,\text{mm} = 2^{2}\times 5\,\text{mm} = 4\times 5\,\text{mm} = 20\,\text{mm}.

Resposta

O novo comprimento crítico admissível para \sigma_2 = 125\,\text{MPa} é 20\,\text{mm}.

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