One way to manufacture transistors, which amplify electrical signals, is to diffuse impurity atoms into a semiconductor material such as silicon (Si). Suppose a silicon wafer 0.1 cm thick, which originally contains one phosphorus atom for every 10 million Si atoms, is treated so that there are 400 phosphorous § atoms for every 10 million Si atoms at the surface (Figure 5-9). The lattice parameter of silicon is 5.4307 \AA.
Calculate the concentration gradient in \frac{\text { atoms }}{\mathrm{cm}^{3} \cdot \mathrm{~cm}^{2}}

Passo 1

O problema pede o gradiente de concentração de impurezas (átomos de fósforo) numa pastilha de silício de espessura 0,1\\ \mathrm{cm}, sabendo que originalmente havia 1 átomo de P para cada 10^7 átomos de Si em todo o volume e, após o tratamento, há 400 átomos de P para cada 10^7 átomos de Si na superfície. Vamos precisar (a) calcular a densidade de átomos de Si por \mathrm{cm}^3 a partir do parâmetro de rede, (b) obter as concentrações inicial e final de P em \mathrm{átomos}/\mathrm{cm}^3á e então (c) estimar o gradiente como \Delta C/\Delta x.

Passo 2

Cada célula unitária do silício (estrutura diamante) contém 8 átomos e tem volume
a^3 = \bigl(5,4307\times10^{-8}\,\mathrm{cm}\bigr)^3 \approx 1{,}603\times10^{-22}\,\mathrm{cm}^3.
Logo a densidade de átomos de Si é
N_{\rm Si} = \frac{8}{a^3} \approx \frac{8}{1{,}603\times10^{-22}} \approx 4,99\times10^{22}\,\frac{\text{átomos de Si}}{\mathrm{cm}^3}.á

Passo 3

A concentração inicial de P no interior vale
C_0 = \frac{1}{10^7}\,N_{\rm Si} \approx \frac{1}{10^7}\times4,99\times10^{22} =4,99\times10^{15}\,\frac{\text{átomos de P}}{\mathrm{cm}^3}.á
Na superfície, a concentração é
C_s = \frac{400}{10^7}\,N_{\rm Si} =400\times4,99\times10^{15} \approx2,00\times10^{18}\,\frac{\text{átomos de P}}{\mathrm{cm}^3}.á

Passo 4

Assumindo variação aproximadamente linear ao longo da espessura \Delta x=0,1\\ \mathrm{cm}, o gradiente de concentração é
\frac{\Delta C}{\Delta x} =\frac{C_s - C_0}{0{,}1} =\frac{2,00\times10^{18} - 4,99\times10^{15}}{0{,}1} \approx\frac{1,995\times10^{18}}{0{,}1} =1,995\times10^{19}.

Passo 5

Arredondando a dois algarismos significativos, temos
\frac{dC}{dx}\approx2,0\times10^{19}\,\frac{\text{átomos de P}}{\mathrm{cm}^3\cdot\mathrm{cm}} =2,0\times10^{19}\,\frac{\text{átomos}}{\mathrm{cm}^4}.áá

Resposta

O gradiente de concentração é aproximadamente
2,0\times10^{19}\;\frac{\text{átomos}}{\mathrm{cm}^3\cdot\mathrm{cm}} \quad\bigl(\simeq2,0\times10^{19}\,\mathrm{átomos/cm^4}\bigr).áá

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