[2pt] Calcule o limite abaixo (justifique!)
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x}-1}{x^{2}-x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x}-1}{x^{2}-x}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão no numerador é \sqrt{x}-1.
  • A expressão no denominador é x^{2}-x.
  • Ao substituir x=1 diretamente, o numerador fica \sqrt{1}-1=0 e o denominador fica 1^{2}-1=0. Logo temos uma forma indeterminada \frac{0}{0}.
  • Precisamos justificar como remover essa indeterminação e então calcular o limite.

Passo 2

Comentário didático sobre a indeterminação \frac{0}{0}: quando ao substituir o ponto de aproximação uma função dá \frac{0}{0}, isso significa que tanto numerador quanto denominador tendem a zero; não podemos concluir o valor do limite sem manipular a expressão. Uma técnica clássica para casos com raiz quadrada é racionalizar o numerador, usando a identidade de diferença de quadrados:
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}.
Aqui podemos escolher a=\sqrt{x} e b=1.

Passo 3

Racionalização do numerador: multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{x}+1 (isso é permitido porque multiplicamos por 1 na forma \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}, para x próximo de 1 com x\ge 0):
\frac{\sqrt{x}-1}{x^{2}-x}=\frac{\sqrt{x}-1}{x^{2}-x}\cdot\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}.
Usando (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)=x-1, obtemos
\frac{\sqrt{x}-1}{x^{2}-x}=\frac{x-1}{(x^{2}-x)\,(\sqrt{x}+1)}.

Passo 4

Fatorando o denominador x^{2}-x: podemos escrever
x^{2}-x = x(x-1).
Substituindo na expressão anterior:
\frac{x-1}{(x^{2}-x)\,(\sqrt{x}+1)}=\frac{x-1}{x(x-1)(\sqrt{x}+1)}.

Passo 5

Cancelamento do fator comum x-1: para x\neq 1 podemos simplificar \frac{x-1}{x(x-1)(\sqrt{x}+1)} cancelando x-1, ficando
\frac{\sqrt{x}-1}{x^{2}-x}=\frac{1}{x(\sqrt{x}+1)},\qquad \text{para }x\neq 1.
Essa simplificação mostra que a função original tem uma descontinuidade removível em x=1 e que, para calcular o limite, podemos trabalhar com a função simplificada à direita.

Passo 6

Justificação final usando continuidade: a função simplificada \displaystyle \frac{1}{x(\sqrt{x}+1)} é contínua em x=1 (o denominador em x=1 é 1\cdot(1+1)=2\neq 0). Então o limite da função original quando x\rightarrow 1 é igual ao valor da função simplificada em x=1. Logo
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x}-1}{x^{2}-x}=\frac{1}{1(\sqrt{1}+1)}=\frac{1}{1\cdot(1+1)}=\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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