[2pt] Calcule o limite abaixo (justifique!)
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão no numerador é
. - A expressão no denominador é
. - Ao substituir
diretamente, o numerador fica e o denominador fica . Logo temos uma forma indeterminada . - Precisamos justificar como remover essa indeterminação e então calcular o limite.
Passo 2
Comentário didático sobre a indeterminação
: quando ao substituir o ponto de aproximação uma função dá
, isso significa que tanto numerador quanto denominador tendem a zero; não podemos concluir o valor do limite sem manipular a expressão. Uma técnica clássica para casos com raiz quadrada é racionalizar o numerador, usando a identidade de diferença de quadrados:
Aqui podemos escolher
e
.
Passo 3
Racionalização do numerador: multiplicamos numerador e denominador por
(isso é permitido porque multiplicamos por
na forma
, para
próximo de
com
):
Usando
, obtemos
Passo 4
Fatorando o denominador
: podemos escrever
Substituindo na expressão anterior:
Passo 5
Cancelamento do fator comum
: para
podemos simplificar
cancelando
, ficando
Essa simplificação mostra que a função original tem uma descontinuidade removível em
e que, para calcular o limite, podemos trabalhar com a função simplificada à direita.
Passo 6
Justificação final usando continuidade: a função simplificada
é contínua em
(o denominador em
é
). Então o limite da função original quando
é igual ao valor da função simplificada em
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