[2pt] Encontre uma equação da reta tangente à curva
\frac{5}{x^{3}}+\frac{3}{y^{5}}=8
no ponto (x, y)=(1,1).

Passo 1

O enunciado dá a curva
\frac{5}{x^{3}}+\frac{3}{y^{5}}=8
e o ponto (x,y)=(1,1). A pergunta é: encontre uma equação da reta tangente à curva naquele ponto. Informações relevantes: a equação implícita da curva e o ponto em que queremos a tangente.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado com calma): aqui y é entendida como uma função de x, ou seja y=y(x). Para derivar uma expressão que envolve y em relação a x usamos a regra da cadeia. Duas regras básicas que preciso que você entenda:
\text{(a) regra do poder para }x:\quad \frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
\text{(b) regra do poder + cadeia para }y:\quad \frac{d}{dx}\bigl(y(x)^{n}\bigr)=n\,y(x)^{\,n-1}\cdot y'(x),
onde y'(x)=\dfrac{dy}{dx}. Exemplo concreto: \dfrac{d}{dx}\bigl(y^2\bigr)=2y\,y'. A cadeia aparece porque y depende de x.

Passo 3

Para facilitar a diferenciação, reescrevemos a equação com potências:
5x^{-3}+3y^{-5}=8.
Agora estamos prontos para derivar ambos os lados em relação a x.

Passo 4

Derivamos termo a termo usando as regras do passo anterior:
\frac{d}{dx}\bigl(5x^{-3}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(3y^{-5}\bigr)=\frac{d}{dx}(8).
Calculando cada derivada:
\frac{d}{dx}\bigl(5x^{-3}\bigr)=5\cdot(-3)x^{-4}=-15x^{-4},
\frac{d}{dx}\bigl(3y^{-5}\bigr)=3\cdot(-5)y^{-6}\cdot y'=-15y^{-6}y',
e a derivada do lado direito é \dfrac{d}{dx}(8)=0. Portanto obtemos a equação
-15x^{-4}-15y^{-6}y'=0.

Passo 5

Isolamos y'. Primeiro passamos o termo que não contém y' para o outro lado:
-15y^{-6}y'=15x^{-4}.
Agora dividimos por -15y^{-6}:
y'=-\frac{15x^{-4}}{15y^{-6}}=-\frac{x^{-4}}{y^{-6}}.
Usando propriedades de potências, \dfrac{x^{-4}}{y^{-6}}=x^{-4}y^{6}. Assim uma forma mais limpa é
y'=-\frac{y^{6}}{x^{4}}.
Interpretação: essa fórmula dá a inclinação da curva em qualquer ponto (x,y) (desde que x\neq0 e y\neq0).

Passo 6

Avalie a derivada no ponto dado (1,1):
y'(1,1)=-\frac{1^{6}}{1^{4}}=-1.
Portanto a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente naquele ponto é -1. Ótimo — já temos o coeficiente angular.

Passo 7

Usamos a forma ponto-inclinação da reta tangente: para uma reta com coeficiente angular m passando por (x_0,y_0) vale
y-y_0=m(x-x_0).
Aqui m=-1 e (x_0,y_0)=(1,1), então a equação da reta tangente fica
y-1=-1\,(x-1).

Resposta

y=-x+2

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