[2pt] Encontre uma equação da reta tangente à curva
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a curva
e o ponto
. A pergunta é: encontre uma equação da reta tangente à curva naquele ponto. Informações relevantes: a equação implícita da curva e o ponto em que queremos a tangente.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado com calma): aqui
é entendida como uma função de
, ou seja
. Para derivar uma expressão que envolve
em relação a
usamos a regra da cadeia. Duas regras básicas que preciso que você entenda:
onde
. Exemplo concreto:
. A cadeia aparece porque
depende de
.
Passo 3
Para facilitar a diferenciação, reescrevemos a equação com potências:
Agora estamos prontos para derivar ambos os lados em relação a
.
Passo 4
Derivamos termo a termo usando as regras do passo anterior:
Calculando cada derivada:
e a derivada do lado direito é
. Portanto obtemos a equação
Passo 5
Isolamos
. Primeiro passamos o termo que não contém
para o outro lado:
Agora dividimos por
:
Usando propriedades de potências,
. Assim uma forma mais limpa é
Interpretação: essa fórmula dá a inclinação da curva em qualquer ponto
(desde que
e
).
Passo 6
Avalie a derivada no ponto dado
:
Portanto a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente naquele ponto é
. Ótimo — já temos o coeficiente angular.
Passo 7
Usamos a forma ponto-inclinação da reta tangente: para uma reta com coeficiente angular
passando por
vale
Aqui
e
, então a equação da reta tangente fica