Calcule a integral:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e objetivo:
- A função a integrar é
, isto é, o quadrado do seno de . - Queremos uma antiderivada (integração indefinida), portanto o resultado deve incluir a constante de integração
. - Não há outras restrições (intervalo, condições de contorno etc.).
Passo 2
Identificar uma identidade trigonométrica útil. Uma fórmula clássica para reduzir potências de seno é a identidade de redução (fórmula do dobro do ângulo):
Dessa identidade podemos isolar
. Reescrevendo,
logo
Explicando devagar: a identidade sai da fórmula do cosseno do dobro do ângulo; ao trocar de papel (resolver para
) obtemos a expressão que transforma uma potência em soma de termos mais fáceis de integrar.
Passo 3
Aplicar a identidade ao nosso integrando. Aqui
, então substituímos
por
na identidade:
Portanto a integral fica
Passo 4
Separar a integral em termos mais simples, usando linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais e constantes saem da integral):
Aqui expliquei cada passo: multipliquei o
para fora e separei as duas integrais.
Passo 5
Calcular a primeira integral, que é simples:
Porque a integral de
em relação a
é
.
Passo 6
Calcular a segunda integral
. Podemos usar substituição ou reconhecer a regra da cadeia invertida: se a derivada de
é
, então
Detalhe da substituição para ficar claro: faça
, então
, ou
. Então
Passo 7
Combinar os resultados das duas integrais:
Expliquei a multiplicação das constantes:
vezes
resulta em
.
Passo 8
Verificação rápida (útil na prova): derivar o resultado para checar que volta ao integrando. Compute
o que confirma que a antiderivada está correta. Bom sinal: está tudo consistente!