Calcule a integral:
\int \operatorname{sen}^{2}(2 \theta) d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^{2}(2\theta)\,d\theta.
Informações dadas e objetivo:
  • A função a integrar é \operatorname{sen}^{2}(2\theta), isto é, o quadrado do seno de 2\theta.
  • Queremos uma antiderivada (integração indefinida), portanto o resultado deve incluir a constante de integração C.
  • Não há outras restrições (intervalo, condições de contorno etc.).

Passo 2

Identificar uma identidade trigonométrica útil. Uma fórmula clássica para reduzir potências de seno é a identidade de redução (fórmula do dobro do ângulo):
\cos(2x)=1-2\sin^{2}(x).
Dessa identidade podemos isolar \sin^{2}(x). Reescrevendo,
2\sin^{2}(x)=1-\cos(2x),
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\sin^{2}(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}.
Explicando devagar: a identidade sai da fórmula do cosseno do dobro do ângulo; ao trocar de papel (resolver para \sin^{2}(x)) obtemos a expressão que transforma uma potência em soma de termos mais fáceis de integrar.

Passo 3

Aplicar a identidade ao nosso integrando. Aqui x=2\theta, então substituímos x por 2\theta na identidade:
\sin^{2}(2\theta)=\frac{1-\cos(2\cdot(2\theta))}{2}=\frac{1-\cos(4\theta)}{2}.
Portanto a integral fica
\int \sin^{2}(2\theta)\,d\theta = \int \frac{1-\cos(4\theta)}{2}\,d\theta.

Passo 4

Separar a integral em termos mais simples, usando linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais e constantes saem da integral):
\int \frac{1-\cos(4\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\int 1\,d\theta \;-\; \frac{1}{2}\int \cos(4\theta)\,d\theta.
Aqui expliquei cada passo: multipliquei o 1/2 para fora e separei as duas integrais.

Passo 5

Calcular a primeira integral, que é simples:
\frac{1}{2}\int 1\,d\theta = \frac{1}{2}\theta.
Porque a integral de 1 em relação a \theta é \theta.

Passo 6

Calcular a segunda integral \displaystyle \int \cos(4\theta)\,d\theta. Podemos usar substituição ou reconhecer a regra da cadeia invertida: se a derivada de \sin(4\theta) é 4\cos(4\theta), então
\int \cos(4\theta)\,d\theta = \frac{1}{4}\sin(4\theta).
Detalhe da substituição para ficar claro: faça u=4\theta, então du=4\,d\theta, ou d\theta=\frac{du}{4}. Então
\int \cos(4\theta)\,d\theta = \int \cos(u)\,\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\sin(u) = \frac{1}{4}\sin(4\theta).

Passo 7

Combinar os resultados das duas integrais:
\frac{1}{2}\theta \;-\; \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\sin(4\theta) + C = \frac{1}{2}\theta - \frac{1}{8}\sin(4\theta) + C.
Expliquei a multiplicação das constantes: \frac{1}{2} vezes \frac{1}{4} resulta em \frac{1}{8}.

Passo 8

Verificação rápida (útil na prova): derivar o resultado para checar que volta ao integrando. Compute
\frac{d}{d\theta}\!\left(\frac{1}{2}\theta - \frac{1}{8}\sin(4\theta)\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{8}\cdot 4\cos(4\theta) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(4\theta) = \frac{1-\cos(4\theta)}{2} = \sin^{2}(2\theta),
o que confirma que a antiderivada está correta. Bom sinal: está tudo consisten­te!

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\theta-\frac{1}{8}\sin(4\theta)+C

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