2s) A máxima velocidade de uma massa de um simples oscilador harmônico (sistema massa-mola) é 10 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}, e o período de oscilação é R \mathrm{~s}.
Se a massa é colocada a oscilar devido a uma condição inicial de velocidade e uma condição inicial de deslocamento de 2 cm , determine: (a) A amplitude do movimento; (b) A velocidade inicial; e (c) A máxima aceleração.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas.
  • Dados fornecidos:
    • A máxima velocidade é \;v_{\max}=10\\ \mathrm{cm/s}.
    • O período de oscilação é \;T=R\\ \mathrm{s}.
    • A condição inicial de deslocamento é \;x(0)=2\\ \mathrm{cm}.
    • Há também uma “condição inicial de velocidade” (ou seja, a velocidade inicial \;v(0)=v_0 existe), mas o enunciado não dá o sinal ou valor numérico de \;v_0; devemos determiná-lo compatível com as demais informações.
  • Perguntas:
    (a) Determinar a amplitude do movimento \;A.
    (b) Determinar a velocidade inicial \;v_0.
    (c) Determinar a máxima aceleração \;a_{\max}.

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas básicas do oscilador harmônico simples (vou explicar cada símbolo):
  • A solução geral em fase é
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde:
  • \;A é a amplitude (valor máximo do deslocamento, em cm);
  • \;\omega é a pulsação angular (em \mathrm{s^{-1}});
  • \;\varphi é a fase inicial (não precisamos conhecê-la explicitamente para este problema).
  • A velocidade correspondente é
v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
Assim, a máxima velocidade (em módulo) é
v_{\max}=A\omega.
Aqui \;v_{\max} tem unidades \mathrm{cm/s}, \;\omega tem unidades \mathrm{s^{-1}}, então \;A sai em cm — as unidades batem.
  • Outra forma útil, escrevendo a solução em termos das condições iniciais x(0)=x_0 e v(0)=v_0, é
x(t)=x_0\cos(\omega t)+\frac{v_0}{\omega}\sin(\omega t),
e daí a amplitude pode ser obtida por
A=\sqrt{x_0^2+\left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2}.
Essa fórmula vem de usar identidade trigonométrica para combinar as duas parcelas em uma única coseno com amplitude A.
  • A pulsação angular \omega relaciona-se com o período T por
\omega=\frac{2\pi}{T}.

Passo 3

Calcular \omega usando o período \;T=R\\ \mathrm{s}:
\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{R}.

Passo 4

Determinar a amplitude \;A a partir de \;v_{\max}=A\omega. Isolando A:
A=\frac{v_{\max}}{\omega}.
Substituindo \;v_{\max}=10\\ \mathrm{cm/s} e \;\omega=\dfrac{2\pi}{R}:
A=\frac{10}{2\pi/R}=\frac{10R}{2\pi}=\frac{5R}{\pi}\\ \mathrm{cm}.
Comentário prático: essa é a amplitude numérica em centímetros expressa em função de R.

Passo 5

Agora vamos achar a velocidade inicial \;v_0. Usamos a relação entre amplitude e condições iniciais:
A^2=x_0^2+\left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2.
Isolando v_0:
\left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2 = A^2 - x_0^2 \qquad\Rightarrow\qquad v_0^2 = \omega^2\bigl(A^2-x_0^2\bigr).
Mas como A\omega=v_{\max} temos uma forma prática:
v_0^2 = v_{\max}^2 - \omega^2 x_0^2.
Agora substituímos os valores conhecidos: \;v_{\max}=10\\ \mathrm{cm/s} e \;x_0=2\\ \mathrm{cm}. Assim
v_0^2 = 100 - \omega^2\cdot 4.
Substituindo \;\omega=\dfrac{2\pi}{R} (logo \;\omega^2=\dfrac{4\pi^2}{R^2}):
v_0^2 = 100 - 4\cdot\frac{4\pi^2}{R^2} = 100 - \frac{16\pi^2}{R^2}.
Portanto
v_0=\pm\sqrt{100-\frac{16\pi^2}{R^2}}\\ \mathrm{cm/s}.
Explicação do sinal: há duas possibilidades de v_0 (positiva ou negativa) que dão a mesma amplitude e o mesmo v_{\max}. O sinal positivo significa que, no instante inicial t=0, a massa está se movendo no sentido positivo; o sinal negativo significa movimento no sentido contrário. O enunciado não especifica o sentido, por isso deixamos o \pm. Note que a expressão só é física se o radicando for não negativo; isso impõe uma condição mínima em R (caso contrário os dados seriam inconsistentes).

Passo 6

Determinar a máxima aceleração \;a_{\max}. Para SHM a aceleração é a(t)=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi), então o módulo máximo é
a_{\max}=A\omega^2.
Usando A=\dfrac{v_{\max}}{\omega} obtemos a forma simples
a_{\max}=v_{\max}\,\omega.
Substituindo \;v_{\max}=10\\ \mathrm{cm/s} e \;\omega=\dfrac{2\pi}{R}:
a_{\max}=10\cdot\frac{2\pi}{R}=\frac{20\pi}{R}\\ \mathrm{cm/s^2}.

Resposta

\displaystyle A=\frac{5R}{\pi}\\ \mathrm{cm}
\displaystyle v_0=\pm\sqrt{100-\frac{16\pi^2}{R^2}}\\ \mathrm{cm/s}
\displaystyle a_{\max}=\frac{20\pi}{R}\\ \mathrm{cm/s^2}

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