2s) A máxima velocidade de uma massa de um simples oscilador harmônico (sistema massa-mola) é
, e o período de oscilação é
.
Se a massa é colocada a oscilar devido a uma condição inicial de velocidade e uma condição inicial de deslocamento de 2 cm , determine: (a) A amplitude do movimento; (b) A velocidade inicial; e (c) A máxima aceleração.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas.
-
Dados fornecidos:
- A máxima velocidade é
- O período de oscilação é
- A condição inicial de deslocamento é
- Há também uma “condição inicial de velocidade” (ou seja, a velocidade inicial
existe), mas o enunciado não dá o sinal ou valor numérico de ; devemos determiná-lo compatível com as demais informações.
- A máxima velocidade é
-
Perguntas:
(a) Determinar a amplitude do movimento.
(b) Determinar a velocidade inicial.
(c) Determinar a máxima aceleração.
Passo 2
Vamos lembrar as fórmulas básicas do oscilador harmônico simples (vou explicar cada símbolo):
- A solução geral em fase é
onde:
-
é a amplitude (valor máximo do deslocamento, em cm); -
é a pulsação angular (em ); -
é a fase inicial (não precisamos conhecê-la explicitamente para este problema). -
A velocidade correspondente é
Assim, a máxima velocidade (em módulo) é
Aqui
tem unidades
,
tem unidades
, então
sai em cm — as unidades batem.
- Outra forma útil, escrevendo a solução em termos das condições iniciais
e , é
e daí a amplitude pode ser obtida por
Essa fórmula vem de usar identidade trigonométrica para combinar as duas parcelas em uma única coseno com amplitude
.
- A pulsação angular
relaciona-se com o período por
Passo 3
Calcular
usando o período
:
Passo 4
Determinar a amplitude
a partir de
. Isolando
:
Substituindo
e
:
Comentário prático: essa é a amplitude numérica em centímetros expressa em função de
.
Passo 5
Agora vamos achar a velocidade inicial
. Usamos a relação entre amplitude e condições iniciais:
Isolando
:
Mas como
temos uma forma prática:
Agora substituímos os valores conhecidos:
e
. Assim
Substituindo
(logo
):
Portanto
Explicação do sinal: há duas possibilidades de
(positiva ou negativa) que dão a mesma amplitude e o mesmo
. O sinal positivo significa que, no instante inicial
, a massa está se movendo no sentido positivo; o sinal negativo significa movimento no sentido contrário. O enunciado não especifica o sentido, por isso deixamos o
. Note que a expressão só é física se o radicando for não negativo; isso impõe uma condição mínima em
(caso contrário os dados seriam inconsistentes).
Passo 6
Determinar a máxima aceleração
. Para SHM a aceleração é
, então o módulo máximo é
Usando
obtemos a forma simples
Substituindo
e
: