A posição de uma partícula é \mathbf{r}=\left\{\left(3 t^{3}-2 t\right) \mathbf{i}-\right. \left.\left(4 t^{1 / 2}+t\right) \mathbf{j}+\left(3 t^{2}-2\right) \mathbf{k}\right\} \mathrm{m}, onde t é dado em segundos. Determine a intensidade da velocidade e da aceleração da partícula quando t=2 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo t (em segundos):
\mathbf{r}(t)=\bigl(3t^{3}-2t\bigr)\mathbf{i}-\bigl(4t^{1/2}+t\bigr)\mathbf{j}+\bigl(3t^{2}-2\bigr)\mathbf{k}\\ \mathrm{m}.
O que nos pedem explicitamente é: determinar a intensidade (magnitude) da velocidade e a intensidade (magnitude) da aceleração da partícula no instante t=2\\ \mathrm{s}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\begin{cases} r_x(t)=3t^{3}-2t,\\[4pt] r_y(t)=-(4t^{1/2}+t),\\[4pt] r_z(t)=3t^{2}-2. \end{cases}]

Passo 2

Lembrete rápido de como proceder: a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, componente a componente:
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\bigl(\dot r_x(t)\bigr)\mathbf{i}+\bigl(\dot r_y(t)\bigr)\mathbf{j}+\bigl(\dot r_z(t)\bigr)\mathbf{k}.
Usamos a regra do poder (power rule) para derivar potências: para qualquer n, \dfrac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{n-1}. Para uma raiz t^{1/2} aplicamos a mesma regra com n=1/2.
Derivando componente a componente:
\dot r_x(t)=\frac{d}{dt}\bigl(3t^{3}-2t\bigr)=9t^{2}-2,
\dot r_y(t)=\frac{d}{dt}\bigl(-4t^{1/2}-t\bigr)=-4\cdot\frac{1}{2}t^{-1/2}-1=-(2t^{-1/2}+1),
\dot r_z(t)=\frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}-2\bigr)=6t.
Portanto a velocidade geral é
\mathbf{v}(t)=\bigl(9t^{2}-2\bigr)\mathbf{i}-\bigl(2t^{-1/2}+1\bigr)\mathbf{j}+6t\,\mathbf{k}.

Passo 3

Agora avaliamos a velocidade em t=2\\ \mathrm{s}. Calculamos cada componente:
v_x(2)=9\cdot 2^{2}-2=9\cdot 4-2=36-2=34,
v_y(2)=-(2\cdot 2^{-1/2}+1)=-\Bigl(\frac{2}{\sqrt{2}}+1\Bigr)=-\bigl(\sqrt{2}+1\bigr),
porque \dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.
v_z(2)=6\cdot 2=12.
Logo
\mathbf{v}(2)=34\,\mathbf{i}-\bigl(\sqrt{2}+1\bigr)\mathbf{j}+12\,\mathbf{k}\quad\mathrm{(m/s)}.

Passo 4

Agora a intensidade (norma) da velocidade é dada por
\lvert \mathbf{v}(2)\rvert=\sqrt{v_x(2)^{2}+v_y(2)^{2}+v_z(2)^{2}}.
Substituindo:
\lvert \mathbf{v}(2)\rvert=\sqrt{34^{2}+\bigl(-(\sqrt{2}+1)\bigr)^{2}+12^{2}} =\sqrt{1156+\bigl(\sqrt{2}+1\bigr)^{2}+144}.
Desenvolvendo \bigl(\sqrt{2}+1\bigr)^{2}=2+2\sqrt{2}+1=3+2\sqrt{2}, então
\lvert \mathbf{v}(2)\rvert=\sqrt{1156+144+3+2\sqrt{2}}=\sqrt{1303+2\sqrt{2}}.
Para uma aproximação numérica, calcule 2\sqrt{2}\approx 2{,}828427, então
\lvert \mathbf{v}(2)\rvert\approx\sqrt{1305{,}828427}\approx 36{,}150\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Passamos à aceleração: é a derivada da velocidade em relação ao tempo,
\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\bigl(\ddot r_x(t)\bigr)\mathbf{i}+\bigl(\ddot r_y(t)\bigr)\mathbf{j}+\bigl(\ddot r_z(t)\bigr)\mathbf{k}.
Derivando as componentes de \mathbf{v}(t):
\ddot r_x(t)=\frac{d}{dt}(9t^{2}-2)=18t,
\ddot r_y(t)=\frac{d}{dt}\bigl(-2t^{-1/2}-1\bigr)=-2\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)t^{-3/2}=t^{-3/2},
(veja: derivada de t^{-1/2} é -\tfrac{1}{2}t^{-3/2}, e o menos externo dá o sinal positivo no final)
\ddot r_z(t)=\frac{d}{dt}(6t)=6.
Portanto
\mathbf{a}(t)=18t\,\mathbf{i}+t^{-3/2}\mathbf{j}+6\,\mathbf{k}.

Passo 6

Avaliamo-la em t=2\\ \mathrm{s}:
a_x(2)=18\cdot 2=36,
a_y(2)=2^{-3/2}=\frac{1}{2^{3/2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}\approx 0{,}353553,
a_z(2)=6.
Logo
\mathbf{a}(2)=36\,\mathbf{i}+\frac{1}{2\sqrt{2}}\,\mathbf{j}+6\,\mathbf{k}\quad\mathrm{(m/s^{2})}.

Passo 7

Agora calculamos a intensidade da aceleração:
\lvert \mathbf{a}(2)\rvert=\sqrt{36^{2}+\bigl(\tfrac{1}{2\sqrt{2}}\bigr)^{2}+6^{2}}.
Calculamos os termos:
36^{2}=1296,\qquad 6^{2}=36,\qquad \bigl(\tfrac{1}{2\sqrt{2}}\bigr)^{2}=\tfrac{1}{8}=0{,}125.
Somando:
\lvert \mathbf{a}(2)\rvert=\sqrt{1296+36+\tfrac{1}{8}}=\sqrt{1332+\tfrac{1}{8}}=\sqrt{\tfrac{10657}{8}}.
Aproximando numericamente:
\lvert \mathbf{a}(2)\rvert\approx\sqrt{1332{,}125}\approx 36{,}498\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 8

Resumo prático para a prova: derive componente a componente usando a regra do poder; avalie as componentes no tempo pedido; calcule a norma com raiz quadrada da soma dos quadrados; simplifique frações irracionais quando possível (como 2/\sqrt{2}=\sqrt{2}). Você chegou até aqui — tá indo bem, respira e repete esse procedimento em outros exercícios parecidos!

Resposta

\lvert \mathbf{v}(2)\rvert=\sqrt{1303+2\sqrt{2}}\\ \mathrm{m/s}\approx 36{,}150\\ \mathrm{m/s}\n \lvert \mathbf{a}(2)\rvert=\sqrt{\tfrac{10657}{8}}\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx 36{,}498\\ \mathrm{m/s^{2}}

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