2-) A máxima velocidade de uma massa de um simples oscilador harmônico (sistema massa-mola) é
, e o período de oscilação é 8 s .
Se a massa é colocada a oscilar devido a uma condição inicial de velocidade e uma condição inicial de deslocamento de 2 cm , determine: (a) A amplitude do movimento; (b) A velocidade inicial; e (c) A máxima aceleração.
Passo 1
Dados que o enunciado nos dá:
,
,
e a condição inicial de deslocamento .
e a condição inicial de deslocamento
O que é pedido:
(a) a amplitude do movimento;
(b) a velocidade inicial ;
(c) a aceleração máxima .
(a) a amplitude
(b) a velocidade inicial
(c) a aceleração máxima
Passo 2
Primeiro precisamos do pulsar angular
. A relação entre período
e
é
Substituindo
obtemos
Explicação rápida:
mede quantos radianos o sistema percorre por segundo; essa fórmula vem da definição do período como tempo para uma volta completa
.
Passo 3
Relação entre amplitude e velocidade máxima: para um movimento harmônico simples com
temos
logo a velocidade máxima em módulo é
Isso ocorre quando
. Portanto a amplitude é
Substituindo
e
:
Valor numérico aproximado:
Passo 4
Usamos agora a condição inicial
. Com
temos
Substituindo o valor exato de
achamos
Não precisamos calcular
explicitamente para obter a velocidade inicial em módulo, como veremos a seguir.
Passo 5
Expressão para a velocidade inicial:
. Para evitar o sinal incerto da
podemos usar a identidade (obtida ao somar os quadrados de
e
):
Tomando
e isolando
obtemos
Portanto o módulo da velocidade inicial é
Agora fazemos as substituições exatas para simplificar algebricamente. Usando
,
e
:
Então
Fatorando
dentro da raiz:
Valor numérico aproximado:
Observação sobre o sinal: o enunciado não especifica a direção da velocidade inicial; portanto
pode ser
ou
, dependendo do sentido inicial do movimento. Ambas as escolhas são compatíveis com os dados
e
.
Passo 6
A aceleração em SHM é
. A aceleração máxima em módulo é
porque
. Substituindo
e
,
Valor numérico aproximado:
Resposta
Amplitude:
Velocidade inicial:
Aceleração máxima:
Velocidade inicial:
Aceleração máxima: