2-) A máxima velocidade de uma massa de um simples oscilador harmônico (sistema massa-mola) é 10 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}, e o período de oscilação é 8 s .
Se a massa é colocada a oscilar devido a uma condição inicial de velocidade e uma condição inicial de deslocamento de 2 cm , determine: (a) A amplitude do movimento; (b) A velocidade inicial; e (c) A máxima aceleração.

Passo 1

Dados que o enunciado nos dá:
v_{\text{max}}=10\\ \mathrm{cm/s},
T=8\\ \mathrm{s},
e a condição inicial de deslocamento x(0)=2\\ \mathrm{cm}.
O que é pedido:
(a) a amplitude A do movimento;
(b) a velocidade inicial v(0);
(c) a aceleração máxima a_{\text{max}}.

Passo 2

Primeiro precisamos do pulsar angular \omega. A relação entre período T e \omega é
\omega=\frac{2\pi}{T}.
Substituindo T=8\\ \mathrm{s} obtemos
\omega=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}\\ \text{rad/s}.
Explicação rápida: \omega mede quantos radianos o sistema percorre por segundo; essa fórmula vem da definição do período como tempo para uma volta completa 2\pi.

Passo 3

Relação entre amplitude e velocidade máxima: para um movimento harmônico simples com x(t)=A\cos(\omega t+\varphi) temos
v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi),
logo a velocidade máxima em módulo é
v_{\text{max}}=A\omega.
Isso ocorre quando |\sin(\cdot)|=1. Portanto a amplitude é
A=\frac{v_{\text{max}}}{\omega}.
Substituindo v_{\text{max}}=10\\ \mathrm{cm/s} e \omega=\pi/4 :
A=\frac{10}{\pi/4}=\frac{40}{\pi}\\ \mathrm{cm}.
Valor numérico aproximado:
A\approx\frac{40}{3,14159}\approx12,73\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Usamos agora a condição inicial x(0)=2\\ \mathrm{cm}. Com x(0)=A\cos\varphi temos
\cos\varphi=\frac{x(0)}{A}=\frac{2}{A}.
Substituindo o valor exato de A achamos
\cos\varphi=\frac{2}{40/\pi}=\frac{\pi}{20}\approx0,15708.
Não precisamos calcular \varphi explicitamente para obter a velocidade inicial em módulo, como veremos a seguir.

Passo 5

Expressão para a velocidade inicial: v(0)=-A\omega\sin\varphi. Para evitar o sinal incerto da \sin\varphi podemos usar a identidade (obtida ao somar os quadrados de v(t) e \omega x(t)):
v^2(t)+(\omega x(t))^2=(A\omega)^2.
Tomando t=0 e isolando v(0) obtemos
v(0)^2=(A\omega)^2-(\omega x(0))^2=\omega^2\bigl(A^2-x(0)^2\bigr).
Portanto o módulo da velocidade inicial é
|v(0)|=\omega\sqrt{A^2-x(0)^2}.
Agora fazemos as substituições exatas para simplificar algebricamente. Usando \omega=\pi/4, A=40/\pi e x(0)=2:
A^2=\frac{1600}{\pi^2},\qquad A^2-x(0)^2=\frac{1600}{\pi^2}-4=\frac{1600-4\pi^2}{\pi^2}.
Então
|v(0)|=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{\sqrt{1600-4\pi^2}}{\pi}=\frac{1}{4}\sqrt{1600-4\pi^2}.
Fatorando 4 dentro da raiz:
|v(0)|=\frac{1}{4}\cdot 2\sqrt{400-\pi^2}=\frac{1}{2}\sqrt{400-\pi^2}\\ \mathrm{cm/s}.
Valor numérico aproximado:
|v(0)|\approx\frac{1}{2}\sqrt{400-9,8696}\approx\frac{1}{2}\sqrt{390,1304}\approx9,876\\ \mathrm{cm/s}.
Observação sobre o sinal: o enunciado não especifica a direção da velocidade inicial; portanto v(0) pode ser +9,876\\ \mathrm{cm/s} ou -9,876\\ \mathrm{cm/s}, dependendo do sentido inicial do movimento. Ambas as escolhas são compatíveis com os dados x(0)=2\\ \mathrm{cm} e v_{\text{max}}=10\\ \mathrm{cm/s}.

Passo 6

A aceleração em SHM é a(t)=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi). A aceleração máxima em módulo é
a_{\text{max}}=A\omega^2,
porque |\cos(\cdot)|\le 1. Substituindo A=40/\pi e \omega=\pi/4,
a_{\text{max}}=\frac{40}{\pi}\left(\frac{\pi}{4}\right)^2=\frac{40}{\pi}\cdot\frac{\pi^2}{16}=\frac{40\pi}{16}=\frac{5\pi}{2}\\ \mathrm{cm/s^2}.
Valor numérico aproximado:
a_{\text{max}}\approx\frac{5\cdot3,14159}{2}\approx7,854\\ \mathrm{cm/s^2}.

Resposta

Amplitude: A=\dfrac{40}{\pi}\\ \mathrm{cm}\approx12,73\\ \mathrm{cm}
Velocidade inicial: v(0)=\pm\dfrac{1}{2}\sqrt{400-\pi^2}\\ \mathrm{cm/s}\approx\pm9,876\\ \mathrm{cm/s}
Aceleração máxima: a_{\text{max}}=\dfrac{5\pi}{2}\\ \mathrm{cm/s^2}\approx7,854\\ \mathrm{cm/s^2}

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