03)Um cilindro metálico,utilizado como corpo de prova,é submetido a um ensaio de tração com uma força de 35 kN .O corpo de prova possui um diâmetro inicial de 12 mm e um comprimento inicial de 250 mm .Durante o ensaio,observa-se:
-Um alongamento total de 15 mm no comprimento;
-Uma redução de 0,65 \mathrm{~mm} no diâmetro.
Com base.nessas informações,responda:
a)Determine o módulo de elasticidade longitudinal(E)do material;
b)Encontre o coeficiente de Poisson(v)do material;
c)Calcule o módulo de elasticidade transversal (G)do material;
d)Explique o que é o coeficiente de Poisson e como ele está relacionado com as deformações longitudinal e transversal em um corpo;
e)Por que o módulo de elasticidade(E)é uma propriedade importante para a escolha de materiais em projetos?

Passo 1

O enunciado fornece um corpo de prova cilíndrico submetido a tração e pede cinco itens (a–e). Dados fornecidos (vou listar exatamente o que o enunciado deu):
F = 35\\ \text{kN} = 35000\\ \text{N}
d_0 = 12\\ \text{mm}
L_0 = 250\\ \text{mm}
\Delta L = 15\\ \text{mm}
\Delta d = 0,65\\ \text{mm}
Perguntas pedidas:
a) Determinar o módulo de elasticidade longitudinal E.
b) Encontrar o coeficiente de Poisson v.
c) Calcular o módulo de elasticidade transversal (módulo de cisalhamento) G.
d) Explicar o que é o coeficiente de Poisson e como ele está relacionado com as deformações longitudinal e transversal.
e) Explicar por que o módulo de elasticidade E é importante na escolha de materiais em projetos.

Passo 2

Calcular a deformação longitudinal (alongamento relativo), que é a razão entre o alongamento e o comprimento inicial. Fórmula e definição:
\varepsilon_{\text{long}}=\frac{\Delta L}{L_0}
onde \Delta L é o alongamento (em mm) e L_0 é o comprimento inicial (em mm). Substituindo os dados:
\varepsilon_{\text{long}}=\frac{15}{250}=0,06
Portanto a deformação longitudinal é \varepsilon_{\text{long}}=0,06 (ou 6\%).

Passo 3

Calcular a área da seção transversal inicial do cilindro, necessária para obter a tensão. A seção é circular, então:
A_0=\frac{\pi d_0^2}{4}
Substituindo d_0=12\\ \text{mm}:
A_0=\frac{\pi \cdot 12^2}{4}=\pi\cdot 36\approx 113,097\\ \text{mm}^2

Passo 4

Calcular a tensão axial (tensão de engenharia) média no instante considerado. Fórmula:
\sigma=\frac{F}{A_0}
onde F está em newtons e A_0 em \text{mm}^2, então \sigma fica em \text{N/mm}^2 que é igual a \mathrm{MPa}. Substituindo:
\sigma=\frac{35000}{113,097}\approx 309,57\\ \mathrm{MPa}

Passo 5

Determinar o módulo de elasticidade longitudinal E. Definição: em regime elástico linear, E (Young) é a razão entre tensão e deformação axial:
E=\frac{\sigma}{\varepsilon_{\text{long}}}
Substituindo os valores:
E=\frac{309,57\\ \mathrm{MPa}}{0,06}\approx 5159,5\\ \mathrm{MPa}=5,16\\ \mathrm{GPa}
Explicação didática: E indica a rigidez do material frente a alongamentos — quanto maior E, menos o material se alonga sob a mesma tensão.

Passo 6

Calcular a deformação transversal (lateral) a partir da variação do diâmetro. A deformação transversal é a variação relativa do diâmetro (com sinal): quando o diâmetro diminui, a deformação transversal é negativa. Fórmula:
\varepsilon_{\text{trans}}=\frac{\Delta d}{d_0}
como \Delta d é uma redução, temos \Delta d = -0,65\\ \text{mm} se quisermos manter o sinal. Vou calcular explicitamente:
\varepsilon_{\text{trans}}=\frac{-0,65}{12}=-0,0541666\ldots\approx -0,05417
Ou seja, \varepsilon_{\text{trans}}\approx -0,05417 (≈ -5{,}417\%).

Passo 7

Calcular o coeficiente de Poisson v. Definição e fórmula:
v = -\frac{\varepsilon_{\text{trans}}}{\varepsilon_{\text{long}}}
O sinal negativo faz com que v seja positivo quando a deformação longitudinal é positiva (alongamento) e a deformação transversal é negativa (estreitamento). Substituindo os valores:
v=-\frac{-0,0541666\ldots}{0,06}=\frac{0,0541666\ldots}{0,06}\approx 0,90278
Portanto v\approx 0,903. Observação didática importante: para materiais isotrópicos lineares típicos, v costuma ficar entre aproximadamente 0 e 0,5. Um valor maior que 0,5 é fisicamente incomum no regime elástico linear e pode indicar que (i) os dados vieram de uma condição que já ultrapassou a elasticidade (deformação plástica), (ii) houve erro de medição, ou (iii) o material tem comportamento não-linear/anômalo. Eu estou respeitando os dados fornecidos e calculei v a partir deles.

Passo 8

Calcular o módulo de cisalhamento G (módulo de elasticidade transversal). Para materiais isotrópicos lineares existe a relação entre E, G e v:
G=\frac{E}{2(1+v)}
Explicação: essa relação vem da teoria da elasticidade linear para materiais isotrópicos e permite obter o módulo de cisalhamento sem fazer ensaio de cisalhamento. Substituindo E e v:
G=\frac{5159{,}5\\ \mathrm{MPa}}{2(1+0,90278)}=\frac{5159{,}5}{2\cdot 1{,}90278}\\ \mathrm{MPa}\approx 1356{,}4\\ \mathrm{MPa}=1{,}36\\ \mathrm{GPa}

Passo 9

Explicação detalhada e didática sobre o coeficiente de Poisson (item d):
O coeficiente de Poisson v relaciona as deformações axial e lateral em um corpo submetido à tensão axial. Se você estica um fio (deformação longitudinal positiva), ele tende a afinar (deformação lateral negativa). O valor de v mede quanto o material afina por unidade de alongamento. Matematicamente:
v=-\frac{\varepsilon_{\text{trans}}}{\varepsilon_{\text{long}}}
Interpretação intuitiva:
  • Se v é grande (próximo de 0{,}5), o material afina muito quando alongado (praticamente incompressível volumetricamente no regime elástico).
  • Se v é pequeno (próximo de 0), o material muda pouco sua seção ao alongar.
  • Se v<0 (pouco comum), o material engrossa quando puxado (efeito auxético).
    Importante: essa relação vale no regime elástico linear e para materiais que podem ser bem aproximados como isotrópicos.

Passo 10

Por que E é importante para a escolha de materiais em projetos (item e) — explicação didática:
  • E quantifica a rigidez do material: para uma mesma carga, um material com E maior sofrerá menos deformação. Em projetos estruturais isso é crucial quando a resistência à deflexão/alongamento é requisito (por exemplo vigas, colunas, eixos).
  • Escolher o material certo envolve balancear rigidez ( E), resistência (limite de escoamento/ruptura), densidade (peso), tenacidade e custo. Um material com E baixo pode ser leve ou barato, mas pode deformar demais; um E alto dá rigidez mas pode ser pesado ou caro.
  • Além disso, E entra em cálculos de vibração, estabilidade (encurvadura), e compatibilidade entre materiais em conjuntos (evitar empenamentos por diferenças de rigidez).
    Exemplo simples: para evitar que uma viga tenha flecha excessiva sob carga, normalmente escolhe-se um material com E alto ou aumenta-se a seção transversal.

Resposta

a) E\approx 5{,}16\\ \mathrm{GPa}
b) v\approx 0{,}903
c) G\approx 1{,}36\\ \mathrm{GPa}
d) O coeficiente de Poisson v é a razão negativa entre a deformação transversal e a deformação longitudinal, v=-\varepsilon_{\text{trans}}/\varepsilon_{\text{long}}; ele mede quanto o material afina (ou engrossa) lateralmente quando alongado longitudinalmente.
e) O módulo de elasticidade E mede a rigidez do material: materiais com E maior deformam menos sob a mesma tensão, sendo essencial para controlar flechas, vibrações e compatibilidade estrutural em projetos.

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