03)Um cilindro metálico,utilizado como corpo de prova,é submetido a um ensaio de tração com uma força de 35 kN .O corpo de prova possui um diâmetro inicial de 12 mm e um comprimento inicial de 250 mm .Durante o ensaio,observa-se:
-Um alongamento total de 15 mm no comprimento;
-Uma redução de
no diâmetro.
Com base.nessas informações,responda:
a)Determine o módulo de elasticidade longitudinal(E)do material;
b)Encontre o coeficiente de Poisson(v)do material;
c)Calcule o módulo de elasticidade transversal (G)do material;
d)Explique o que é o coeficiente de Poisson e como ele está relacionado com as deformações longitudinal e transversal em um corpo;
e)Por que o módulo de elasticidade(E)é uma propriedade importante para a escolha de materiais em projetos?
-Um alongamento total de 15 mm no comprimento;
-Uma redução de
Com base.nessas informações,responda:
a)Determine o módulo de elasticidade longitudinal(E)do material;
b)Encontre o coeficiente de Poisson(v)do material;
c)Calcule o módulo de elasticidade transversal (G)do material;
d)Explique o que é o coeficiente de Poisson e como ele está relacionado com as deformações longitudinal e transversal em um corpo;
e)Por que o módulo de elasticidade(E)é uma propriedade importante para a escolha de materiais em projetos?
Passo 1
O enunciado fornece um corpo de prova cilíndrico submetido a tração e pede cinco itens (a–e). Dados fornecidos (vou listar exatamente o que o enunciado deu):
Perguntas pedidas:
a) Determinar o módulo de elasticidade longitudinal .
b) Encontrar o coeficiente de Poisson .
c) Calcular o módulo de elasticidade transversal (módulo de cisalhamento) .
d) Explicar o que é o coeficiente de Poisson e como ele está relacionado com as deformações longitudinal e transversal.
e) Explicar por que o módulo de elasticidade é importante na escolha de materiais em projetos.
a) Determinar o módulo de elasticidade longitudinal
b) Encontrar o coeficiente de Poisson
c) Calcular o módulo de elasticidade transversal (módulo de cisalhamento)
d) Explicar o que é o coeficiente de Poisson e como ele está relacionado com as deformações longitudinal e transversal.
e) Explicar por que o módulo de elasticidade
Passo 2
Calcular a deformação longitudinal (alongamento relativo), que é a razão entre o alongamento e o comprimento inicial. Fórmula e definição:
onde
é o alongamento (em mm) e
é o comprimento inicial (em mm). Substituindo os dados:
Portanto a deformação longitudinal é
(ou
).
Passo 3
Calcular a área da seção transversal inicial do cilindro, necessária para obter a tensão. A seção é circular, então:
Substituindo
:
Passo 4
Calcular a tensão axial (tensão de engenharia) média no instante considerado. Fórmula:
onde
está em newtons e
em
, então
fica em
que é igual a
. Substituindo:
Passo 5
Determinar o módulo de elasticidade longitudinal
. Definição: em regime elástico linear,
(Young) é a razão entre tensão e deformação axial:
Substituindo os valores:
Explicação didática:
indica a rigidez do material frente a alongamentos — quanto maior
, menos o material se alonga sob a mesma tensão.
Passo 6
Calcular a deformação transversal (lateral) a partir da variação do diâmetro. A deformação transversal é a variação relativa do diâmetro (com sinal): quando o diâmetro diminui, a deformação transversal é negativa. Fórmula:
como
é uma redução, temos
se quisermos manter o sinal. Vou calcular explicitamente:
Ou seja,
(≈
).
Passo 7
Calcular o coeficiente de Poisson
. Definição e fórmula:
O sinal negativo faz com que
seja positivo quando a deformação longitudinal é positiva (alongamento) e a deformação transversal é negativa (estreitamento). Substituindo os valores:
Portanto
. Observação didática importante: para materiais isotrópicos lineares típicos,
costuma ficar entre aproximadamente
e
. Um valor maior que
é fisicamente incomum no regime elástico linear e pode indicar que (i) os dados vieram de uma condição que já ultrapassou a elasticidade (deformação plástica), (ii) houve erro de medição, ou (iii) o material tem comportamento não-linear/anômalo. Eu estou respeitando os dados fornecidos e calculei
a partir deles.
Passo 8
Calcular o módulo de cisalhamento
(módulo de elasticidade transversal). Para materiais isotrópicos lineares existe a relação entre
,
e
:
Explicação: essa relação vem da teoria da elasticidade linear para materiais isotrópicos e permite obter o módulo de cisalhamento sem fazer ensaio de cisalhamento. Substituindo
e
:
Passo 9
Explicação detalhada e didática sobre o coeficiente de Poisson (item d):
O coeficiente de Poisson relaciona as deformações axial e lateral em um corpo submetido à tensão axial. Se você estica um fio (deformação longitudinal positiva), ele tende a afinar (deformação lateral negativa). O valor de
mede quanto o material afina por unidade de alongamento. Matematicamente:
O coeficiente de Poisson
Interpretação intuitiva:
- Se
é grande (próximo de ), o material afina muito quando alongado (praticamente incompressível volumetricamente no regime elástico). - Se
é pequeno (próximo de ), o material muda pouco sua seção ao alongar. - Se
(pouco comum), o material engrossa quando puxado (efeito auxético).
Importante: essa relação vale no regime elástico linear e para materiais que podem ser bem aproximados como isotrópicos.
Passo 10
Por que
é importante para a escolha de materiais em projetos (item e) — explicação didática:
-
quantifica a rigidez do material: para uma mesma carga, um material com maior sofrerá menos deformação. Em projetos estruturais isso é crucial quando a resistência à deflexão/alongamento é requisito (por exemplo vigas, colunas, eixos). - Escolher o material certo envolve balancear rigidez (
), resistência (limite de escoamento/ruptura), densidade (peso), tenacidade e custo. Um material com baixo pode ser leve ou barato, mas pode deformar demais; um alto dá rigidez mas pode ser pesado ou caro. - Além disso,
entra em cálculos de vibração, estabilidade (encurvadura), e compatibilidade entre materiais em conjuntos (evitar empenamentos por diferenças de rigidez).
Exemplo simples: para evitar que uma viga tenha flecha excessiva sob carga, normalmente escolhe-se um material comalto ou aumenta-se a seção transversal.
Resposta
a)
b)
c)
d) O coeficiente de Poisson é a razão negativa entre a deformação transversal e a deformação longitudinal,
; ele mede quanto o material afina (ou engrossa) lateralmente quando alongado longitudinalmente.
e) O módulo de elasticidade mede a rigidez do material: materiais com
maior deformam menos sob a mesma tensão, sendo essencial para controlar flechas, vibrações e compatibilidade estrutural em projetos.
b)
c)
d) O coeficiente de Poisson
e) O módulo de elasticidade