Passo 1
O enunciado nos dá o sistema autônomo
Vamos trabalhar para:
- Encontrar todos os pontos de equilíbrio (pontos críticos) do sistema.
- Linearizar o sistema em cada ponto de equilíbrio (calcular a Jacobiana) e classificar a estabilidade/tipo (nó, sela, espiral, centro etc.).
- Identificar retas/curvas invariantes e as nulclinas (onde
e ) para entender rapidamente o campo de vetores.
Passo 2
Definição útil: um ponto
é ponto de equilíbrio se
e
simultaneamente.
Escrevo as equações
e
:
Vamos resolver por casos a partir dos fatores.
Caso A:
. Então
. Substituindo em
:
Logo
é equilíbrio.
Caso B:
. Então
. Substituindo em
:
Isto dá duas possibilidades:
-
⇒ ponto . -
. Reescrevo como que fatora . Assim ou , dando pontos e .
Resumo dos equilíbrios encontrados:
Passo 3
Agora vamos linearizar o sistema em torno de um ponto de equilíbrio: calcular a Jacobiana (matriz de derivadas parciais) da função vetor
com
Calculo das derivadas parciais (mostro passo a passo):
- Para
:
- Para
:
Portanto a Jacobiana geral é
Regra prática para classificar um ponto linearizado por
(modo rápido e didático):
- Calcular os autovalores
de . - Se tiver um autovalor com parte real positiva e outro negativa ⇒ sela (instável).
- Se ambos reais e negativos ⇒ nó estável (ou degenerado), ambos reais e positivos ⇒ nó instável.
- Se complexos com parte real negativa ⇒ espiral assintoticamente estável; parte real positiva ⇒ espiral instável.
- Se ambos imaginários puros (parte real zero) ⇒ centro linear (caso degrau, precisa olhar termos não-lineares).]
Passo 4
Análise do ponto
.
Avalio a Jacobiana em
:
Como a matriz é triangular superior, os autovalores estão na diagonal:
,
. São reais e de sinais opostos, logo
é uma sela (saddle) e, portanto, instável. Comentário prático: uma direção é atraente (autovalor
) e outra é repulsiva (autovalor
).
Para ensinar a identificar autovetores (útil para esboçar separatrizes): para
obtém-se autovetor proporcional a
(direção horizontal); para
autovetor proporcional a
(direção instável).]
Passo 5
Análise do ponto
.
Avalio a Jacobiana em
:
Cálculo do traço e determinante:
Equação característica:
.
Discriminante . Assim os autovalores são complexos com parte real
(escrevendo as raízes:
). Como a parte real é negativa,
é um espiral assintoticamente estável (espiral sink).]
Discriminante
Passo 6
Análise do ponto
.
Avalio a Jacobiana em
:
Traço e determinante:
Equação característica:
. Discriminante
. Autovalores complexos com parte real
. Portanto
também é um espiral assintoticamente estável (espiral sink), atraente.]
Passo 7
Análise do ponto
.
Avalio a Jacobiana em
:
Matriz diagonal com autovalores
e
. Autovalores de sinais opostos ⇒
é uma sela (saddle), instável. Observação: a linha vertical
é invariante porque
tem o fator
, que se anula em
, logo
permanece
se for inicialmente
.]
Passo 8
Nulclinas e retas invariantes — interpretação geométrica rápida (como fazer na prova):
- Nulclinas de
: → (reta vertical) e → (reta com inclinação 1). Interseções das nulclinas com as de deram os equilíbrios já encontrados. - Nulclinas de
: (eixo ) e → ou (essas são retas verticais onde a parte em parênteses se anula). - Invariâncias:
- O eixo
é invariante: se então e . Nesse caso a dinâmica reduz-se a unidimensional. - A reta
é invariante porque então (já notado) e (contracção exponencial em ).
- O eixo
- Combinando essas curvas, vê-se que as interseções dão os quatro equilíbrios e que as duas selas
e têm variedades estável/instável que separam as regiões de atração dos dois espirais atratores e .
Passo 9
Resumo prático para a prova (dicas passo-a-passo que você pode reproduzir rápido):
- Identificar fatores em
e para achar equilíbrios por casos (economiza tempo). - Calcular a Jacobiana simbolicamente uma vez e depois avaliar nos pontos.
- Obter traço e determinante de
para checar sinal dos autovalores rapidamente: -
⇒ sela; -
e ⇒ atraente (nó ou espiral dependendo do discriminante); -
e ⇒ repulsivo.
-
- Quando discriminante
(autovalores complexos), investigar o sinal de para decidir se é espiral estável ou instável. - Procure nulclinas e retas invariantes (fatores do sistema ajudam muito) para esboçar separatrizes sem resolver numericamente.