d x / d t=(2+x)(y-x), \quad d y / d t=y\left(2+x-x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema autônomo
\frac{d x}{d t}=(2+x)(y-x),\qquad \frac{d y}{d t}=y\bigl(2+x-x^{2}\bigr).
Vamos trabalhar para:
  • Encontrar todos os pontos de equilíbrio (pontos críticos) do sistema.
  • Linearizar o sistema em cada ponto de equilíbrio (calcular a Jacobiana) e classificar a estabilidade/tipo (nó, sela, espiral, centro etc.).
  • Identificar retas/curvas invariantes e as nulclinas (onde \dot x=0 e \dot y=0) para entender rapidamente o campo de vetores.

Passo 2

Definição útil: um ponto (x,y) é ponto de equilíbrio se \dot x=0 e \dot y=0 simultaneamente.
Escrevo as equações \dot x=0 e \dot y=0:
(2+x)(y-x)=0, \qquad y\bigl(2+x-x^{2}\bigr)=0.
Vamos resolver por casos a partir dos fatores.
Caso A: (2+x)=0. Então x=-2. Substituindo em \dot y=0: y\bigl(2+(-2)-(-2)^{2}\bigr)=y(0-4)=-4y=0\Rightarrow y=0.
Logo (-2,0) é equilíbrio.
Caso B: (y-x)=0. Então y=x. Substituindo em \dot y=0:
x\bigl(2+x-x^{2}\bigr)=0.
Isto dá duas possibilidades:
  • x=0 ⇒ ponto (0,0).
  • 2+x-x^{2}=0. Reescrevo como x^{2}-x-2=0 que fatora (x-2)(x+1)=0. Assim x=2 ou x=-1, dando pontos (2,2) e (-1,-1).
Resumo dos equilíbrios encontrados:
(0,0),\quad (2,2),\quad (-1,-1),\quad (-2,0).

Passo 3

Agora vamos linearizar o sistema em torno de um ponto de equilíbrio: calcular a Jacobiana (matriz de derivadas parciais) da função vetor F(x,y)=(f(x,y),g(x,y)) com
f(x,y)=(2+x)(y-x),\qquad g(x,y)=y(2+x-x^{2}).
Calculo das derivadas parciais (mostro passo a passo):
  • Para f: \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl((2+x)(y-x)\bigr)=(y-x)+(2+x)(-1)=y-x-2-x=y-2-2x.
\frac{\partial f}{\partial y}=2+x.
  • Para g: \frac{\partial g}{\partial x}=y\frac{d}{dx}\bigl(2+x-x^{2}\bigr)=y(1-2x).
\frac{\partial g}{\partial y}=2+x-x^{2}.
Portanto a Jacobiana geral é
J(x,y)=\begin{pmatrix} y-2-2x & 2+x\\[4pt] y(1-2x) & 2+x-x^{2} \end{pmatrix}.
Regra prática para classificar um ponto linearizado por J (modo rápido e didático):
  • Calcular os autovalores \lambda de J.
  • Se tiver um autovalor com parte real positiva e outro negativa ⇒ sela (instável).
  • Se ambos reais e negativos ⇒ nó estável (ou degenerado), ambos reais e positivos ⇒ nó instável.
  • Se complexos com parte real negativa ⇒ espiral assintoticamente estável; parte real positiva ⇒ espiral instável.
  • Se ambos imaginários puros (parte real zero) ⇒ centro linear (caso degrau, precisa olhar termos não-lineares).]

Passo 4

Análise do ponto (0,0).
Avalio a Jacobiana em (0,0):
J(0,0)=\begin{pmatrix} 0-2-0 & 2+0\\[4pt] 0\cdot(1-0) & 2+0-0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 & 2\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.
Como a matriz é triangular superior, os autovalores estão na diagonal: \lambda_{1}=-2, \lambda_{2}=2. São reais e de sinais opostos, logo (0,0) é uma sela (saddle) e, portanto, instável. Comentário prático: uma direção é atraente (autovalor -2) e outra é repulsiva (autovalor 2).
Para ensinar a identificar autovetores (útil para esboçar separatrizes): para \lambda=-2 obtém-se autovetor proporcional a (1,0) (direção horizontal); para \lambda=2 autovetor proporcional a (1,2) (direção instável).]

Passo 5

Análise do ponto (2,2).
Avalio a Jacobiana em (2,2):
J(2,2)=\begin{pmatrix} 2-2-2\cdot2 & 2+2\\[4pt] 2(1-2\cdot2) & 2+2-2^{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 & 4\\[4pt]-6 & 0\end{pmatrix}.
Cálculo do traço e determinante:
\operatorname{tr}J=-4+0=-4,\qquad \det J = (-4)\cdot0 - 4\cdot(-6)=24.
Equação característica: \lambda^{2}-\operatorname{tr}J\,\lambda+\det J=\lambda^{2}+4\lambda+24=0.
Discriminante \Delta=4^{2}-4\cdot24=16-96=-80<0. Assim os autovalores são complexos com parte real -2 (escrevendo as raízes: \lambda=-2\pm 2\mathrm{i}\sqrt{5}). Como a parte real é negativa, (2,2) é um espiral assintoticamente estável (espiral sink).]

Passo 6

Análise do ponto (-1,-1).
Avalio a Jacobiana em (-1,-1):
J(-1,-1)=\begin{pmatrix} -1-2-2(-1) & 2+(-1)\\[4pt] -1(1-2(-1)) & 2-1-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]-3 & 0\end{pmatrix}.
Traço e determinante:
\operatorname{tr}J=-1+0=-1,\qquad \det J = (-1)\cdot0 - 1\cdot(-3)=3.
Equação característica: \lambda^{2}+\lambda+3=0. Discriminante \Delta=1-12=-11<0. Autovalores complexos com parte real -\tfrac{1}{2}<0. Portanto (-1,-1) também é um espiral assintoticamente estável (espiral sink), atraente.]

Passo 7

Análise do ponto (-2,0).
Avalio a Jacobiana em (-2,0):
J(-2,0)=\begin{pmatrix} 0-2-2(-2) & 2+(-2)\\[4pt] 0\cdot(1-2(-2)) & 2-2-(-2)^{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & -4\end{pmatrix}.
Matriz diagonal com autovalores \lambda_{1}=2>0 e \lambda_{2}=-4<0. Autovalores de sinais opostos ⇒ (-2,0) é uma sela (saddle), instável. Observação: a linha vertical x=-2 é invariante porque \dot x=(2+x)(y-x) tem o fator 2+x, que se anula em x=-2, logo x permanece -2 se for inicialmente -2.]

Passo 8

Nulclinas e retas invariantes — interpretação geométrica rápida (como fazer na prova):
  • Nulclinas de \dot x=0: (2+x)=0 x=-2 (reta vertical) e (y-x)=0 y=x (reta com inclinação 1). Interseções das nulclinas com as de \dot y deram os equilíbrios já encontrados.
  • Nulclinas de \dot y=0: y=0 (eixo x) e 2+x-x^{2}=0 x=2 ou x=-1 (essas são retas verticais onde a parte em parênteses se anula).
  • Invariâncias:
    • O eixo y=0 é invariante: se y(0)=0 então \dot y=0 e y(t)\equiv0. Nesse caso a dinâmica reduz-se a \dot x=-(2+x)x unidimensional.
    • A reta x=-2 é invariante porque então \dot x=0 (já notado) e \dot y=-4y (contracção exponencial em y).
  • Combinando essas curvas, vê-se que as interseções dão os quatro equilíbrios e que as duas selas (0,0) e (-2,0) têm variedades estável/instável que separam as regiões de atração dos dois espirais atratores (2,2) e (-1,-1).

Passo 9

Resumo prático para a prova (dicas passo-a-passo que você pode reproduzir rápido):
  1. Identificar fatores em \dot x e \dot y para achar equilíbrios por casos (economiza tempo).
  2. Calcular a Jacobiana simbolicamente uma vez e depois avaliar nos pontos.
  3. Obter traço e determinante de J para checar sinal dos autovalores rapidamente:
    • \det<0 ⇒ sela;
    • \det>0 e \operatorname{tr}<0 ⇒ atraente (nó ou espiral dependendo do discriminante);
    • \det>0 e \operatorname{tr}>0 ⇒ repulsivo.
  4. Quando discriminante <0 (autovalores complexos), investigar o sinal de \operatorname{tr} para decidir se é espiral estável ou instável.
  5. Procure nulclinas e retas invariantes (fatores do sistema ajudam muito) para esboçar separatrizes sem resolver numericamente.

Resposta

(0,0) — sela (instável).
(2,2) — espiral assintoticamente estável (sink).
(-1,-1) — espiral assintoticamente estável (sink).
(-2,0) — sela (instável).

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