Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dadas. y=c_{1} e^{x}.
Passo 1
O enunciado dá a família de curvas
y = c_{1} e^{x},
onde c_{1} é uma constante arbitrária.
A pergunta pede: encontrar as trajetórias ortogonais dessa família (isto é, a família de curvas que intercepta cada curva dada em ângulo reto).
Informações relevantes fornecidas:
A família original é \;y=c_{1}e^{x}\;.
c_{1} é o parâmetro que diferencia cada curva da família.
Passo 2
O que significa “trajetórias ortogonais” (explicação didática, passo a passo):
Uma curva tem inclinação (ou coeficiente angular) em cada ponto dada por \dfrac{dy}{dx}.
Se duas curvas se cruzam em um ponto formando ângulo reto, os coeficientes angulares m_1 e m_2 das tangentes satisfazem m_1\cdot m_2 = -1 (exceto quando uma das tangentes é vertical; aqui trabalhamos com inclinações finitas).
Portanto, se a família dada tem derivada \dfrac{dy}{dx} num ponto, a derivada \dfrac{dy}{dx} das trajetórias ortogonais nesse ponto deve ser o negativo do recíproco: \dfrac{dy}{dx}\big|_{\text{ort}} = -\dfrac{1}{\dfrac{dy}{dx}\big|_{\text{orig}}}.
Explicando com um exemplo simples para fixar: duas retas com inclinações 2 e -\tfrac{1}{2} são perpendiculares porque 2\cdot(-\tfrac{1}{2})=-1.
Passo 3
Achar a equação diferencial que descreve a família dada (eliminar a constante se necessário):
Diferenciando \;y=c_{1}e^{x}\; em relação a x obtemos
\frac{dy}{dx}=c_{1}e^{x}.
Note que c_{1}e^{x} é exatamente y (pela equação original), logo
\frac{dy}{dx}=y.
Esta é a equação diferencial que todas as curvas da família satisfazem.
Comentário sobre símbolos: aqui \dfrac{dy}{dx} representa a derivada de y em relação a x, ou seja, a inclinação da curva no ponto.
Passo 4
Obter a equação diferencial das trajetórias ortogonais:
Para curvas ortogonais, a derivada deve ser o negativo do recíproco da derivada da família original. Como a família original tem \dfrac{dy}{dx}=y, as trajetórias ortogonais devem satisfazer
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{y}.
Explicando a transformação: trocou-se a inclinação y por -1/y porque queremos inclinações perpendiculares em cada ponto de intersecção.
Passo 5
Resolver a equação diferencial \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{y} (método e passos detalhados):
Esta é uma equação separável: podemos separar y e x em lados distintos.
Escrevendo de forma separada:
y\,dy = -\,dx.
Integramos ambos os lados. Explicando a integração:
\displaystyle\int y\,dy = \frac{1}{2}y^{2} + C_1 (regra: integral de y em relação a y é \tfrac{1}{2}y^2).
\displaystyle\int -\,dx = -x + C_2.
Juntando e absorvendo constantes num único constante C (porque C_2-C_1 é só outra constante arbitrária), obtemos
\frac{1}{2}y^{2} = -x + C.
Multiplicando por 2 para simplificar a forma:
y^{2} = -2x + C',
onde C' = 2C é uma constante arbitrária. Podemos reescrever de forma habitual como
y^{2} + 2x = C',
com C' constante.
Comentário: ao integrar apareceu uma constante; em famílias de curvas usamos uma constante arbitrária para representar todas as possibilidades.
Passo 6
Interpretação final (como apresentar na prova):
A família de trajetórias ortogonais é dada por curvas cujas equações satisfazem
y^{2} + 2x = C,
onde C é uma constante real arbitrária.
Cada valor de C dá uma curva distinta da família ortogonal; essas curvas interceptam as curvas y=c_{1}e^{x} em ângulos retos.