Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dadas.
.
Passo 1
O enunciado dá a família de curvas
com parâmetro
, e pede as trajetórias ortogonais dessa família.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A família depende de um parâmetro
. - Cada curva da família pode ser escrita implicitamente isolando o parâmetro:
. - O objetivo é achar a família de curvas que corta ortogonalmente todas as curvas dadas (ou seja, em cada ponto de interseção os declives são negativos recíprocos).
Passo 2
Vamos eliminar o parâmetro e obter uma expressão para a derivada
das curvas da família original. Isso é útil porque a condição de ortogonalidade envolve as derivadas (os declives).
A partir de
(que foi obtido isolando o parâmetro), derivamos ambos os lados em relação a
. Lembrando que
é constante, então a derivada de
é zero. Aplicando a regra do produto ao lado direito:
Isolando
obtemos a expressão do declive das curvas originais:
Passo 3
Explicar a condição de ortogonalidade e obter a equação diferencial que as trajetórias ortogonais satisfazem.
Se duas curvas são ortogonais em um ponto, os declives
e
das tangentes nesse ponto satisfazem
(são negativos recíprocos). Portanto, se a família original tem declive
então o declive
das trajetórias ortogonais deve ser
Assim as trajetórias ortogonais satisfazem a equação diferencial:
Passo 4
Resolver a equação diferencial das trajetórias ortogonais. Observação: a equação é separável — podemos reunir termos em
de um lado e termos em
do outro.
Escrevendo de forma a separar variáveis:
Reescrevendo o lado direito para integrar facilmente:
Passo 5
Integrar ambos os lados:
Integramos a esquerda em
e a direita em
:
Calcule cada integral passo a passo:
-
. -
. -
.
Juntando (podemos recolher todas as constantes de integração em uma só constante
) obtemos:
onde
é uma constante arbitrária de integração.
Passo 6
Interpretar e simplificar a solução final. A igualdade
é a família implícita das trajetórias ortogonais. Pode-se também escrever em formas equivalentes, por exemplo
ou
conforme preferência. Note que a presença de
exige que se trate separadamente os ramos
e
se for necessário, pois a integração passou por
.
Passo 7
(se desejar conferir rapidamente) Checagem sucinta da ortogonalidade:
Derivando implicitamente a solução final para obter o declive das ortotrajetórias:
logo
que coincide com a equação que usamos para as trajetórias ortogonais; assim a solução está consistente.