Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dadas.
y=\frac{c_{1}}{1+x^{2}}.

Passo 1

O enunciado dá a família de curvas
y=\frac{c_{1}}{1+x^{2}}
com parâmetro \,c_{1}\,, e pede as trajetórias ortogonais dessa família.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A família depende de um parâmetro \,c_{1}\,.
  • Cada curva da família pode ser escrita implicitamente isolando o parâmetro: \,c_{1}=y(1+x^{2}).
  • O objetivo é achar a família de curvas que corta ortogonalmente todas as curvas dadas (ou seja, em cada ponto de interseção os declives são negativos recíprocos).

Passo 2

Vamos eliminar o parâmetro e obter uma expressão para a derivada \dfrac{dy}{dx} das curvas da família original. Isso é útil porque a condição de ortogonalidade envolve as derivadas (os declives).
A partir de \,c_{1}=y(1+x^{2}) (que foi obtido isolando o parâmetro), derivamos ambos os lados em relação a x. Lembrando que c_{1} é constante, então a derivada de c_{1} é zero. Aplicando a regra do produto ao lado direito:
0=\frac{d}{dx}\bigl(y(1+x^{2})\bigr)=(1+x^{2})\frac{dy}{dx}+y\cdot 2x.
Isolando \dfrac{dy}{dx} obtemos a expressão do declive das curvas originais:
\frac{dy}{dx}=-\frac{2xy}{1+x^{2}}.

Passo 3

Explicar a condição de ortogonalidade e obter a equação diferencial que as trajetórias ortogonais satisfazem.
Se duas curvas são ortogonais em um ponto, os declives \,m_{1} e \,m_{2} das tangentes nesse ponto satisfazem \,m_{1}m_{2}=-1 (são negativos recíprocos). Portanto, se a família original tem declive
m_{\text{orig}}=\frac{dy}{dx}=-\frac{2xy}{1+x^{2}},
então o declive m_{\perp} das trajetórias ortogonais deve ser
m_{\perp}=-\frac{1}{m_{\text{orig}}}=-\frac{1}{-\dfrac{2xy}{1+x^{2}}}=\frac{1+x^{2}}{2xy}.
Assim as trajetórias ortogonais satisfazem a equação diferencial:
\frac{dy}{dx}=\frac{1+x^{2}}{2xy}.

Passo 4

Resolver a equação diferencial das trajetórias ortogonais. Observação: a equação é separável — podemos reunir termos em y de um lado e termos em x do outro.
Escrevendo de forma a separar variáveis:
\frac{dy}{dx}=\frac{1+x^{2}}{2x\,y} \quad\Longrightarrow\quad 2y\,dy=\frac{1+x^{2}}{x}\,dx.
Reescrevendo o lado direito para integrar facilmente:
\frac{1+x^{2}}{x}=\frac{1}{x}+x.

Passo 5

Integrar ambos os lados:
Integramos a esquerda em y e a direita em x:
\int 2y\,dy=\int\left(\frac{1}{x}+x\right)dx.
Calcule cada integral passo a passo:
  • \displaystyle \int 2y\,dy = y^{2} + C_{1}.
  • \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C_{2}.
  • \displaystyle \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C_{3}.
Juntando (podemos recolher todas as constantes de integração em uma só constante C) obtemos:
y^{2}=\ln|x|+\frac{x^{2}}{2}+C,
onde C é uma constante arbitrária de integração.

Passo 6

Interpretar e simplificar a solução final. A igualdade
y^{2}=\ln|x|+\frac{x^{2}}{2}+C
é a família implícita das trajetórias ortogonais. Pode-se também escrever em formas equivalentes, por exemplo
2y^{2}=x^{2}+2\ln|x|+C',
ou
y^{2}-\frac{x^{2}}{2}-\ln|x|=C,
conforme preferência. Note que a presença de \ln|x| exige que se trate separadamente os ramos x>0 e x<0 se for necessário, pois a integração passou por \int \tfrac{1}{x}dx.

Passo 7

(se desejar conferir rapidamente) Checagem sucinta da ortogonalidade:
Derivando implicitamente a solução final para obter o declive das ortotrajetórias:
2y\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}+x=\frac{1+x^{2}}{x},
logo
\frac{dy}{dx}=\frac{1+x^{2}}{2xy},
que coincide com a equação que usamos para as trajetórias ortogonais; assim a solução está consistente.

Resposta

y^{2}=\ln|x|+\dfrac{x^{2}}{2}+C

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